解三角形题型7三角形中求最值问题

小小亲亲辅导班题型6：等式中的证明1、、在△ABC中，证明：2222112cos2cosbabBaA。2、在ABC中，角,,ABC所对的三边分别为,,abc．求证：222sin()sinabABcC．题型6：等式中的证明答案1、证明：222222222222sinsin211sin21sin212cos2cosbBaAbabBaAbBaA由正弦定理得：2222sinsinbBaA2222112cos2cosbabBaA2、分析：证明三角形中的等式或不等式的问题的关键是利用正弦定理、余弦定理以及其它公式，将边角关系进行互化．证明：由余弦定理可知2222cosabcbcA，2222cosbacacB，两式相减得：22222cos2cosabbabcAcaB，所以222coscosabaBbAcc．由正弦定理得sinsin,sinsinaAbBcCcC，则222sincossincossin()sinsinabABBAABcCC．归纳小结：此题主要考查正弦定理、余弦定理在证明恒等式中的应用，由等式左边式子联想到余弦定理，运用余弦定理进行转化，由等式右边正弦值联想到正弦定理，运用正弦定理进行转化，从而使问题得以证明．小小亲亲辅导班解三角形题型7：三角形中求最值问题1、在锐角ABC中，1,2,BCBA则cosACA的值等于，AC的取值范围为.2、ABC的三个内角为ABC、、，求当A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。3、在△ABC中，若BACBAcoscossinsinsin.(1)判断△ABC的形状；(2)在上述△ABC中，若角C的对边1c，求该三角形内切圆半径的取值范围。4、在△ABC中，10ba，cosC是方程02322xx的一个根，求△ABC周长的最小值。5、(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.6、（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinsinBC的最大值.7、2011年数学（理科）（浙江省）（本题满分14分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为a，b，c，已知sinsinsin,ACpBpR且214acb.（Ⅰ）当5,14pb时，求,ac的值；(Ⅱ)若角B为锐角，求p的取值范围。小小亲亲辅导班题型7：三角形中求最值问题答案1、解析设,2.AB由正弦定理得,12.sin2sin2coscosACBCACAC由锐角ABC得0290045，又01803903060，故233045cos22，2cos(2,3).AC2、解析：由A+B+C=π，得B+C2=π2－A2，所以有cosB+C2=sinA2。cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2=1－2sin2A2+2sinA2=－2(sinA2－12)2+32；当sinA2=12，即A=π3时,cosA+2cosB+C2取得最大值为32。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。3、解：（1）由BACBAcoscossinsinsin可得12sin22C0cosC即C＝90°△ABC是以C为直角顶点得直角三角形（2）内切圆半径cbar211sinsin21BA212214sin22A内切圆半径的取值范围是212,05、【解题指南】(1)将a=bcosC+csinB“边化角”,化简求得B.(2)利用角B、边b将△ABC面积表示出来,借助均值不等式求最大值.【解析】(1)因为a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因为sinC≠0,所以tanB=1,解得B=错误!未找到引用源。(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos错误!未找到引用源。,即4=a2+c2-错误!未找到引用源。ac,由不等式得a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时,取等号,所以4≥(2-错误!未找到引用源。)ac,解得ac≤4+2错误!未找到引用源。,所以△ABC的面积为错误!未找到引用源。acsin错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。×(4+2错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用源。+1.所以△ABC面积的最大值为错误!未找到引用源。+1.6、解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)abcbcbc即222abcbc小小亲亲辅导班由余弦定理得2222cosabcbcA故1cos2A，A=120°……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinsinsinsin(60)BCBB31cossin22sin(60)BBB故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。7、解：（Ⅰ）sinsinsin,ACpBpR54acpb又21144acb11,4ac或1,14ac(Ⅱ)22222222222322cos23222pbbacbpbacbBpbacac26023122pp