2.2-平面向量的线性运算

2.2平面向量的线性运算1.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图，已知向量a，b，奎屯王新敞新疆在平面内任取一点A，作ABa，BCb，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+bABBCAC特殊情况：ababa+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAAaabbbabaAABBCC)2()3(对于零向量与任一向量a，有a00aa（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______（3）运算律：____a+b=b+a；_______，____（a+b）+c=a+（b+c）._______例：已知||5OA,||3OB,则||AB的最大值和最小值分别为、。2.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.已知向量a、b，求作向量∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=ab即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量奎屯王新敞新疆注意：1)AB表示ab奎屯王新敞新疆强调：差向量“箭头”指向被减数2)用“相反向量”定义法作差向量，ab=a+(-b)(b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一奎屯王新敞新疆a∥b∥cab=a+(b)ab例：化简)()(BDACCDAB解法一（统一成加法）解法二（利用BAOBOA）解法三（利用OAOBAB）例：D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()．A.AD→＋BE→＋CF→＝0B.BD→－CF→＋DF→＝0C.AD→＋CE→－CF→＝0D.BD→－BE→－FC→＝03.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa与a平行.（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.特别提醒：1)向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。2)重要定理：向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.例：(2a+3b-c)-(3a-2b+c)例：已知任意两个非零向量a、b，且OA=a+b，=a+2b,=a+3b，判断A、B、C三点之间的位置关系.温馨提示（1）向量手写体必须在字母的上方加一个“→”。（2）注意零向量这个特殊的向量。它的方向是任意的，长度是零。（3）注意向量它既有方向，又有长度。（4）解向量题时，由于向量属于几何范畴，所以要注意画图分析，注意平面几何知识（相似、比例等）的运用，利用数形结合的思想分析解答。(5)a||b,ba只有0b才是正确的。而当0b时，a||b是ba的必要非充分条件。（6）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。（7）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。