三角恒等变化复习

11-13三角恒等变化（一）考点一：公式是的记忆是第一步，在记忆公式时，要注意公式的结构，类比公式之间的区别，再通过简单的套用加深记忆.1．两角和与差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝________________________________.C(α＋β)：cos(α＋β)＝________________________________.2．两角和与差的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝________________________________.S(α－β)：sin(α－β)＝________________________________.3．两角和与差的正切公式(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝__________________.(2)T(α－β)：tan(α－β)＝__________________.4.两角和与差的正切公式的变形(1)T(α＋β)的变形：tanα＋tanβ＝__________________.tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝______________.tanα·tanβ＝__________________.(2)T(α－β)的变形：tanα－tanβ＝__________________.tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝________________.tanαtanβ＝__________________.例1.为了加深我们对公式的理解和记忆，我们是不是应该做简单的应用呢？1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于()A.12B.33C.22D.32例2.化简求值：（1）sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)（2）sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)（3）sin14°cos16°＋sin76°cos74（4）1－tan15°1＋tan15°（5）tan36°＋tan84°－3tan36°tan84°回顾归纳解答此类题一般要先用诱导公式把角化正化小，化切为统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．21·世纪*教育网公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．考点二（给值求值）：给出一个或几个三角函数的值（即已知角），求另外的三角函数的值2（即目标角），此类题目需要同学们具备整体代换的思想，将已知角构造成目标，如，2，充分体现了数学里构造的思想.例3.已知π2βα3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．变式训练1已知sin3π4＋α＝513，cosπ4－β＝35，且0απ4β3π4，求cos(α＋β)．（如果换成正切，你还会么）变式训练2已知11tan,tan3,24求tan6的值.（以下这道题和前面的有什么不一样呢）变式训练3已知α、β均为锐角，sinα＝55，cosβ＝1010，求α－β的值．考点三（恒等变换）：恒等变化的题目综合性较强，其本质是合一变形，即借助辅助角公式和两角和差公式将所给的式子或函数化成sinAx的形式，进而求利用三角函数的图象和性质求解周期，单调区间，值域等问题.以下给出辅助角公式和它的简单应用.22sinsin.axbcosxabx（其中就是辅助角，它是由,ab决定的）注意：在利用辅助角公式的前提是前后两个三角函数值的角是同一角.例4.化简以下式子(1)sin3cos;(2)sin333cossin;(4)315sin35cos.22xxxcoxxxxxPs:同学辅助角公式只是一个小工具，它的作用是什么呢？3例5．已知函数2sin22cos2,,6122fxxxx（1）求()fx的最小正周期；（2）求()fx的值域.变式训练1:函数sin()sin3yxx的值域.变式训练2：已知函数sin3cos3,fxxx则yfx的图象经过怎么样的变化才能得到sin3yx的函数图象?回顾归纳细细体味下这道题目的本质，题目的条件不变，问题可以是求单调区间或者是对称轴，其间可以结合换元法与三角函数的图象与性质相结合考点四（三角形中的问题）：高考中经常将三角恒等变换与三角形结合在一起成为一道较难题.题目有难度一部分原因是同学们对和差公式记忆不太熟练，另外一个原因是在三角形中的一些结论你还没理解和记住，比如sin()sin,cos()cos;ABCABC在三角形中若有一个角的余弦值是负值，则此三角形为钝角三角形；锐角三角形中sincosAB等.例6已知△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，且3tanA＋3tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．21cnjy.com例7.在ABC中，内角,,ABC满足4sinsin2cos()1ACAC.（1）求角B的大小；（2）求sin2sinAC的取值范围.4变式训练1．在ABC中，三内角分别是A、B、C，若sinC＝2cosAsinB，则三角形ABC一定是()2·1·c·n·j·yA．直角三角形B．正三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形变式训练2.在ABC中，sinsincoscos,ABAB则三角形ABC一定是()2·1·c·n·j·yA．直角三角形B．正三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形变式训练3.ABC中，已知tan,tanAB是x的方程2(1)10xpx的两个实根，求C回顾归纳在三角形中的三角函数恒等变换要紧扣三角形的性质和一些常用结论，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．51-14三角恒等变化（二）考点一：倍角公式的记忆与简单应用，这一考点需要同学们能熟记倍角公式及其变形公式，并能理解公式的内涵.所谓二倍是相对而言的，任何一个角都有它的二倍角，因此任何一个角都可以尝试着用二倍角公式展开.1．倍角公式(1)S2α：sin2α＝____________，sinα2cosα2＝____________；(2)C2α：cos2α＝____________＝____________＝____________；(3)T2α：tan2α＝____________.2．倍角公式常用变形(1)sin2α2sinα＝________，sin2α2cosα＝________；(2)(sinα±cosα)2＝____________；(3)sin2α＝____________，cos2α＝____________.（降幂扩角公式）(4)1－cosα＝____________，1＋cosα＝____________.（升幂公式）例1求下列各式的值．(1)cosπ12cos512π；(2)13－23cos215°.变式训练1求值：(1)cos20°·cos40°·cos80°；(2)tan70°·cos10°·(3tan20°－1)．变式训练2化简：1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ.6回顾归纳解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数关系及诱导公式是常用方法．21教育网考点二：给角求值（如，例1），给值求值，给值求角.此类题目主要采用构造法，体现了整体代换的数学思想，同学们应该彻底理解一道题目并且几乎它的模式，以便下次遇到类似的题型.（给值求值）例2若cosπ4－x＝－45，5π4x7π4，求sin2x－2sin2x1＋tanx的值．变式训练1已知sinπ4－x＝513，0xπ4，求cos2xcosπ4＋x的值.（给值求角）例3已知11tan,tan73，并且,均为锐角，求2的值.变式训练1若1531tan(),tan(),2243求的值.（能力提升）变式训练2已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈0，π2，则α＝________.回顾归纳本题采用的“凑角法”是解三角问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式．21世纪教育网版权7考点三：三角恒等变化，即合一变形。此类题目要借助与两角和差公式，二倍角公式，辅助角公式以及降幂公式，将题目所给的式子或者函数合成sinAx，在三角函数的图象和形式解题.例题4若函数2sin223sinyxx（1）求函数的最小正周期，单调区间；（2）求函数在0,2的最大值和最小值.（高考题）变式训练1已知函数2()sin()coscos(0)fxxxx的最小正周期为.（1）求的值；（2）将函数()yfx的图象上各点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()ygx的图象，求函数()gx在区间0,16的最小值.Litilitli例题立体图回顾归纳此类题目本质就是合一变形即收缩变化，题目的形式大同小异，无非就是用到的公式不一样，到最终的目的都是要化为sinAx.因此，同学们只需要彻底消化并记住一两道类型题即可见效.