高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值

§3.4函数的极值与最值本节利用导数讨论函数的极值与最值的问题，具体来说，讨论函数在局部与全局的最大值、最小值（简称最值）问题，它在实际应用中有着重要的意义。一、函数的极值1.极值的定义观察图3.11，可以发现，函数()yfx在点14,xx的值比其邻近点的值都大，曲线在该点处达到“峰顶”；在点25,xx的值比其邻近点的值都小，曲线在该点处达到“谷底”。对于具有这种性质的点，我们引入函数的极值的概念.定义3.3设函数)(xf在点0x的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任意一点x（x≠0x），恒有0()()fxfx（或0()()fxfx），则称)(0xf是函数)(xf的极大值（或极小值），称0x是函数)(xf的极大值点（或极小值点）。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.注：（1）函数的极值是一个局部性的概念，如果)(0xf是函数)(xf的极大值（或极小值），只是就0x邻近的一个局部范围内，)(0xf是最大的（或最小的），而对于函数)(xf的整个定义域来说就不一定是最大的（或最小的）了。（2）函数的极值只能在定义域内部取得。yxO1xa2x3x4x5xb()yfx图3.11高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值2/82.极值的判别法继续观察图3.4可以发现，在函数取得极值处，若曲线的切线存在（即函数的导数存在），则切线一定是水平的，即函数在极值点处的导数等于零。由此，有下面的定理.定理3.4(极值存在的必要条件)如果函数)(xf在点0x可导，且在0x处取得极值，则)(0xf=0.证明从略。定义3.4使()0fx的点,称为函数()fx的驻点.根据定理3.4，可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却不一定是极值点。例如，函数3xy在点0x处的导数等于零，但如图1.3所示，0x不是3xy的极值点。此外，函数在它导数不存在的点处也可能取得极值。例如，函数||)(xxf在点0x处不可导（参见§2.1例11），但如图1.4所示，||)(xxf在点0x取得极小值。归纳起来，一方面，函数可能取得极值的点是驻点和不可导点；另一方面，驻点和不可导点却又不一定是极值点。因此，若要求函数的极值，首先要找出函数的驻点和不可导点，然后判定函数在这些点是否取得极值，以及是极大值还是极小值。对此，参考图3.12和图3.13，可得下面的定理。定理3.5(判别极值的第一充分条件)设函数)(xf在点0x的某邻域00(,)xx内连续且可导(在0x处可以不可导)，则yxO0x()yfx()0fx()0fx图3.12yxO0x()yfx()0fx()0fx图3.13高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值3/8(1)如果在点0x的左邻域内，()0fx；在点0x的右邻域内，()0fx，则函数)(xf在0x取得极大值；(2)如果在点0x的左邻域内，()0fx；在点0x的右邻域内，()0fx，则函数)(xf在0x取得极小值。证明从略。注：如果在点0x的两侧，()fx保持同号，则函数()fx在点0x没有极值。根据上述讨论，利用定理3.5求函数的极值点和极值的步骤如下：（1）确定函数()fx的定义域；（2）求()fx，求出()fx的驻点及不可导点；（3）用步骤（2）中求出的点将函数的定义区间划分为若干个子区间，确定()fx在各个子区间的符号，确定极值点和极值。例1求函数32()397fxxxx的极值。解（1）函数的定义域为),(；（2）2()369fxxx3(1)(3)xx，令()0fx，得驻点：1x，3x；（3）用1x和3x将定义域划分为三个区间：)1,(、)3,1(、),3(，列表确定()fx的符号，函数的极值点和极值：表3.5x)1,(1)3,1(3),3(()fx0-0()fx↗极大值↘极小值↗所以，函数的极大值为(1)12f，极小值为(3)20f。当函数()fx在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可以利用下述定理来判定()fx在驻点处是取得极大值还是极小值。高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值4/8定理3.6(判别极值的第二充分条件)设函数()fx在点0x具有二阶导数，且00xf，00xf，则（1）当00fx时，函数()fx在点0x取得极小值；（2）当00xf时，函数()fx在点0x取得极大值。证明从略。注：定理3.5和定理3.6虽然都是判定极值点的充分条件，但在应用时又有区别.定理3.5对驻点和导数不存在的点均适用，定理3.6只对二阶导数存在且不为零的驻点适用，下列两种情形，定理3.6不适用：(1)0()fx不存在的点；(2)0()0fx,0()0fx的点.这时，0x可能是极值点，也可能不是极值点.例2求函数)(xf＝1)1(32x的极值。解（1）()fx的定义域为(,)；（2）22()6(1)fxxx，22()6(1)(51)fxxx；令()0fx求得驻点1x，0x，1x，没有不可导点；（3）因为(0)60f所以()fx在0x处取得极小值极小值为(0)0f;因为(1)(1)0ff用定理3.6无法判定，改用定理3.5判定。因为在1x的左右邻域内'()0fx所以()fx在1x处没有极值；同理，()fx在1x处也没有极值。综上所述，函数)(xf只有极小值(0)0f.二、函数的最值函数的极值是函数在局部范围内的最大值或最小值，本节讨论函数在其定义域或指定范围上的最大值或最小值。1．闭区间上连续函数的最值由定理1.5知道，若函数)(xf在闭区间[,]ab上连续，则)(xf在[,]ab上必有最大值与最小值。参照图3.11可知，函数的最值只能在驻点、不可导点、端点取得。高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值5/8因此，求闭区间上连续函数)(xf的最大值与最小值的方法如下：（1）求函数)(xf的定义域；（2）求()fx，求出函数的驻点以及不可导点；（3）计算)(xf在驻点、不可导点、端点的函数值，比较大小，即可得函数的最大值与最小值。例3求函数42()82fxxx在1,3上的最大值和最小值。解（1）指定的区间为1,3；（2）3()4164(2)(2)fxxxxxx令()0fx，得(1,3)内的驻点为0,2x；（3）(1)5f，(0)2f，(2)14f，(3)11f比较可得，函数的最大值为(3)11f，最小值为(2)14f。如图3.14、图3.15所示，如果函数)(xf在某个连续区间内只有唯一的极值点0x，可以断定，当0x是)(xf的极大(小)点时，0()fx就是函数)(xf在该区间上的最大(小)值,这是实际应用中经常遇到的情况.2．实际问题的最值在实际应用中，常常会遇到求最大值或最小值的问题（称为最优化问题），比如，制作一个容积一定的容器，要求用料最少；生产中投入同样多的人力、物力、财力，要求产出最大、利润最大，等等。这类问题在数学上往往可归结为求yxO图3.140xyxO图3.150x高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值6/8某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题。应用极值和最值理论解决最优化问题时，首先要弄清要求最大值或最小值的量，该量与问题中其它量的关系怎样，以要最优化的量为目标，建立目标函数，并确定函数的定义域；其次，应用极值和最值理论求目标函数的最大值或最小值；最后应按问题的要求给出结论。例4如图3.16所示，设工厂C到铁路的垂直距离为20km，垂足为A，铁路线上距A点100km处有一原料供应站B，现在要在AB线上选定一点D修建一个原料中转车站，再由车站D向工厂修筑一条公路。已知每吨公里铁路的运费与公路的运费之比为3:5，为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？解首先，建立目标函数。设ADx(km)，则100DBx，22220400CDxx；又设公路运费为5k/tkm元(k是正数)，铁路运费为3k/tkm元，从B点到C点需要的总运费为y（元），则目标函数为53ykCDkDB，即254003(100)ykxkx（0100x）。其次，将实际问题的最值转化为函数的最值。问题转化为：求函数254003(100)ykxkx在[0,100]上的最小值。求导数，得22553(3)400400xxykkkxx，令'0y得驻点15x（15x舍去）。因为运费问题中必有最小值，现在又只有一个驻点15x，由此知15x为DC20kmAB100kmDC20kmAB100km图3.16高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值7/8函数y的最小值点。因此，当车站D建于A、B之间与A相距15km处时，运费最省。注：在实际问题中，如果函数()fx在某区间内有唯一的驻点0x，而且从实际问题本身又可知道()fx在该区间内必定有最大值或最小值，则0x就是()fx的最大值点或最小值点。例5如图3.17所示，把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁，问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量216Wbh最大?解首先，建立目标函数。依题意，目标函数为216Wbh因为222hdb，所以231()(0)6Wdbbbd。其次，将实际问题的最值转化为函数的最值。问题转化为：求函数221()6Wbdb在(0,)d内的最大值。求导数,得221(3)6Wdb令0W，得驻点13bd。由于梁的最大抗弯截面模量一定存在而且在(0,)d内部取得，现在，函数W在(0,)d内只有一个驻点所以当13bd时，W的值最大，这时，2222221233hdbddd，即23hd，21::2:133hbdd。dhb图3.17高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值8/8所以，矩形截面的高和宽之为2:1时，梁的抗弯截面模量最大。