高等数学方明亮3.5-函数的极值与最大值、最小值

返回上页下页目录2020年7月28日星期二1第五节函数的极值与最大值、最小值第三章四、最值问题三、极值的第二充分条件二、极值的第一充分条件（Extremum&ExtremesofFunction）一、复习引入五、小结与思考练习返回上页下页目录2020年7月28日星期二2（Introduction）一、复习引入1．极值定义设函数()fx在区间(,)ab内有定义，0x是(,)ab内的一点，如果存在0x的一个邻域0()Ux，对于0()Ux内的任何点x，有0()()fxfx或0()()fxfx,则称0()fx是函数()fx的一个极大值（或极小值），点0x是()fx的一个极大值点（或极小值点），函数的极大值、极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点．2．费马（Femat）引理如果函数()fx在点0x可导，而且在点0x取到极值，则0()0.fx返回上页下页目录2020年7月28日星期二3由费马引理知，驻点（StagnationPoint），即导数为零的点是函数可能的极值点。除驻点外函数还有没有其他的点是可能的极值点？在可能的极值点中究竟哪些点是极值点？是极值点时，是极大值点还是极小值点呢？研究极值到底有什么用？……为此，这节课我们就来研究函数极值点的两个充分条件，并在此基础上讨论最值问题！返回上页下页目录2020年7月28日星期二4二、第一充分条件（TheFirstSufficientCondition）定理1（第一充分条件）设函数()fx在点0x的某个邻域0(,)Ux内连续，在去心邻域o0(,)Ux内可导．（1）若00(,)xxx时，()0fx，而00(,)xxx时，()0fx，则函数()fx在点0x处取得极大值；(()0)fx(()0)fx（极小值）（2）若o0(,)xUx时，()fx的符号保持不变，则点0x不是()fx的极值点．返回上页下页目录2020年7月28日星期二5xyoxyo0x0x（是极值点情形）xyoxyo0x0x（不是极值点情形）返回上页下页目录2020年7月28日星期二6应当指出的是，除驻点是函数可能的极值点外，导数不存在的点也可能是函数的极值点．例如，对于函数()||fxx，我们曾经证明过它在0x处导数不存在，但(0,0)点显然是极值点！又如，对于函数13()fxx，(0)y不存在．因为当0x时32103yx　，故由第一充分条件知0x不是3yx的极值点.返回上页下页目录2020年7月28日星期二7我们可按下列步骤来求函数()fx的极值点和相应极值：（1）求出导数(),fx进而求出()fx全部驻点或导数不存在的点；（2）考察()fx在各个驻点或导数不存在的点的左、右邻域内符号的变化，判定该点是否为极值点，如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；根据上述讨论，（3）求出()fx的极值．例1求函数323()6fxxx的极值．（老师讲解）返回上页下页目录2020年7月28日星期二8例2设函数()fx在(,)内连续，其导函数的图形如右图所示，试确定函数()fx的极大值和极小值点的个数.（课本例4）提示：（1）从图形可以看出，123()()()0fxfxfx且在0x处导数不存在。（2）根据驻点与导数不存在点左右两端的符号确定是否极值点。答案：有11,()xfx和(0,(0))f两个极大值点；有22,()xfx和33,()xfx两个极小值点。返回上页下页目录2020年7月28日星期二9三、第二充分条件（TheSecondSufficientCondition）定理2（第二充分条件）设函数()fx在点0x处具有二阶导数，并且0()0fx，0()0fx．则（1）若当0()0fx时，函数()fx在点0x处取得极大值；（2）若当0()0fx时，函数()fx在点0x处取得极小值；注1：本定理可利用极限的保号性加以证明；注2：当0()0fx时，本定理失效！例如，函数3()fxx时，本定理失效！返回上页下页目录2020年7月28日星期二10例3求函数23()(1)1fxx的极值．（课本例2）解题思路：（1）求出(),fx并求出()fx全部驻点；（2）验证全部驻点的二阶导数()fx是否为零。如果驻点的二阶导数()fx不等于零，则利用第二充分条件判定；如果驻点的二阶导数()fx等于零，此时，第二充分条件失效，可利用第一充分条件判定。返回上页下页目录2020年7月28日星期二11例4设()fx的导数在xa处连续，且()lim1xafxxa，问xa是为()fx的极值点？如果是极值点，()fx在xa取得极大值还是极小值？（课本例3）解题思路：（1）()fx在点xa处连续lim()()xafxfa（2）()()lim()lim()(1)00xaxafxfafxxaxa（3）()()()()limlim10xaxafxfafxfaxaxa返回上页下页目录2020年7月28日星期二12四、最值问题（ExtremeProblems）在很多学科领域与实际问题中，经常遇到在一定条件下如何用料最省、成本最低、时间最短、效益最高等问题，这类问题我们称为最优化问题.在数学上，它们常归结为求某一个函数（称为目标函数）在某个范围内的最大值、最小值问题（简称为最值问题）．假设函数()fx在闭区间[,ab]上连续，则()fx在[,ab]上一定取得最大值和最小值．（最值定理）但是，函数的最大值和最小值会在哪里取得呢？返回上页下页目录2020年7月28日星期二13我们来看一下下面的几幅图：oxyoxybaoxyabab通过观察可以发现，函数在[,ab]上的最大值和最小值，只可能在区间内的极值点和区间端点处取得．因此，将函数在驻点和导数不存在的点的函数值同端点函数值进行比较，其中最大者为()fx在［,ab］上的最大值，最小者为()fx在［,ab］上的最小值．返回上页下页目录2020年7月28日星期二14例5求函数432()481fxxxx在[2,2]　上的最大值和最小值．（课本例5）解题思路：（1）求出()fx，并找出驻点和导数不存在的点。（2）计算函数在驻点和导数不存在的点的函数值，并计算处端点的函数值，并比较大小。应当指出的是，在研究函数的最值问题的时候，常常会遇到一些特殊情况，此时，上述步骤可以适当简化，（1）若函数()fx在[,ab]上单调，则其最大（小）值必然在区间[,ab]的端点上取得；返回上页下页目录2020年7月28日星期二15（2）若()fx在区间[,ab]（或(,)ab或(,)等）上连续且可导，在(,)ab内有唯一驻点0x，且0()fx为极大（小）值，则0()fx必为()fx在[,ab]上的最大（小）值；（3）在实际问题中，若目标函数()fx在[,ab]上连续，在(,ab)内可导，且有唯一驻点0x．如果能根据实际问题的性质可以断定()fx确有最大（小）值，而且一定在区间内部取得，那么0()fx必为最大（小）值．返回上页下页目录2020年7月28日星期二16例6讨论函数xyx(0)x的最值问题．解题思路：（1）(1ln)(0)xyxxx，得驻点为1ex（2）通过导数的符号判定1ex是唯一的极值点例7一房地产公司有50套公寓要出租.当月租金为1000元时，公寓会全部租出去.当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费.试问房租定为多少可获得最大收入？（课本习题3－511）（解答见下页）返回上页下页目录2020年7月28日星期二17解：设房租为x元，获得的收入设为()fx，则租出去的公寓数为：10500050x350050x由题意知：()fx(100)350050xx236003500050xx令23600()050xfx，得：1800x。又因为1()025fx，所以当1800x时，()fx取得最大值，即房租定为1800元时，可获得最大收入。返回上页下页目录2020年7月28日星期二18例8证明11(1)1(01,1)2pppxxxp．（课本习题3-5第5题（1））证明：设()(1)ppfxxx，则11()(1)ppfxpxpx，22()(1)(1)(1)ppfxppxppx，令()0fx，解得12x；而102f，(1)1,(0)1,ff11122pf为最小值，故[0,1]x，原不等式11(1)12pppxx成立。返回上页下页目录2020年7月28日星期二191.复习了函数极值的概念（理解）内容小结特别注意：最值是整体概念而极值是局部概念.2.介绍了判断极值点的两个充分条件（注意使用条件）学会利用这两个充分条件判断是否极值点3.最值问题（1）学会解最值问题（2）学会利用函数的最值证明不等式返回上页下页目录2020年7月28日星期二20（1）自学课本例7、例8和例9课后练习（2）习题3-51（偶数题）；4（2）；5；10思考练习1．下列说法是否正确？（1）驻点就是极值点，极值点就是驻点（2）驻点一定是极值点（3）极值点一定是驻点返回上页下页目录2020年7月28日星期二212．（1993.数学五考研）已知某厂生产x件产品的成本为212500020040Cxx（元）问：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：（1）设平均成本为y，则2500020040xyx由2250001040yx，得11000x，21000x（舍去）因为51000|5100xy，所以当1000x时，y取极小值，也即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产1000件产品。返回上页下页目录2020年7月28日星期二22（2）利润函数为21()5002500020040Lxxxx23002500040xx由()300020xLx，得6000x，因为60001()|020xLx，所以当6000x时，()Lx取得极大值，也是最大值，因此，要使利润最大，应生产6000件产品。