《概率论与数理统计》讲义

-1-第一章随机事件和概率第一节基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!nmmPnm从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。)!(!!nmnmCnm从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。例1．1：方程xxxCCC76510711的解是A．4B．3C．2D．1例1．2：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜-2-色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？-3-③顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序）例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序）例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：（1）每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；（2）任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示，例如n,,21（离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。如果某个是事件A的组成部分，即这个在事件A中出现，记为A。如果在一次试验中所出现的有A，则称在这次试验中事件A发生。如果不是事件A的组成部分，就记为A。在一次试验中，所出现的有A，则称此次试验A没有发生。为必然事件，Ø为不可能事件。-4-（2）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。②运算：结合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：11iiiiAABABA，BABA例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间。若表示取到的两只球是白色的事件，表示取到的两只球是红色的事件，试用、表示下列事件：（1）两只球是颜色相同的事件C，（2）两只球是颜色不同的事件D，（3）两只球中至少有一只白球的事件E。例1．17：硬币有正反两面，连续抛三次，若Ai表示第i次正面朝上，用-5-Ai表示下列事件：（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件C，（2）至少有一次正面朝上的事件D，（3）前两次正面朝上的事件E。3、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°对于两两互不相容的事件1A，2A，…有11)(iiiiAPAP常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件A的概率。（2）古典概型（等可能概型）1°n21,，2°nPPPn1)()()(21。设任一事件A，它是由m21,组成的，则有P(A)=)()()(21m=)()()(21mPPPnm基本事件总数所包含的基本事件数A例1．18：集合A中有100个数，B中有50个数，并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b的概率。-6-例1．19：5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？例1．20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是A．141B．131C．121D．111例1．21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序）例1．22：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序）例1．23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（无序）注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）（1）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)例1．24：从0，1，…，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：A＝“三个数字中不含0或者不含5”。（2）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B)=1-P(B)例1．25：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P(A+B).例1．26：对于任意两个互不相容的事件A与B，以下等式中只有一个不正确，它是：(A)P(A-B)=P(A)(B)P(A-B)=P(A)+P(A∪B)-1(C)P(A-B)=P(A)-P(B)(D)P[(A∪B)∩(A-B)]=P(A)(E)p[BA]=P(A)-P(A∪B)-7-（3）条件概率和乘法公式定义设A、B是两个事件，且P(A)0，则称)()(APABP为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Ω/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)0，则有21(AAP…)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP……21|(AAAPn…)1nA。例1．27：甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。例1．28：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。（4）全概公式设事件nBBB,,,21满足1°nBBB,,,21两两互不相容，),,2,1(0)(niBPi，2°niiBA1，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。此公式即为全概率公式。-8-例1．29：播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％，四等种子占1％，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。例1．30：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是：A．0.5625B．0.5C．0.45D．0.375E．0.225例1．31：100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？（5）贝叶斯公式设事件1B，2B，…，nB及A满足1°1B，2B，…，nB两两互不相容，)(BiP0，i1，2，…，n，2°niiBA1，0)(AP，则njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，…n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（1i，2，…，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（1i，2，…，n），通常称为后验概率。如果我们把A当作观察的“结果”，而1B，2B，…，nB理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。例1．32：假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。设C表示被检验者的确患有肝癌的事件，A表示诊断出被检验者患有肝癌的事件，已知95.0)/(CAP，-9-98.0)/(CAP，004.0)(CP。现有一人被检验法诊断为患有肝癌，求此人的确患有肝癌的概率)|(ACP。5、事件的独立性和伯努利试验（1）两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP所以这与我们所理解的独立性是一致的。若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。（证明）由定义，我们可知必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。（证明）同时，Ø与任何事件都互斥。（2）多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。两两互斥→互相互斥。两两独立→互相独立？例1．33：已知)/()/(ABPABP，证明事件A、B相互独立。例1．34：A，B，C相互独立的充分条件：-10-（1）A，B，C两两独立（2）A与BC独立例1．35：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，求目标没有被射中的概率。（3）伯努利试验定义我们作了n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的