七年级下册生活中的轴对称

1第12讲生活中的轴对称【学习目标】1.能很好地识别轴对称图形，并能分清楚轴对称与轴对称图形的概念；2.熟悉等腰三角形和等边三角形的性质及判定；3.掌握角平分线定理，中垂线定理；4.能利用“两点之间，线段最短”及轴对称的性质，解决动点中的最短距离问题。【学习重点】1.能利用等腰三角形和等边三角形的性质及判定解决相关问题；2.能利用角平分线定理，中垂线定理解决相关问题；3.能利用“两点之间，线段最短”及轴对称的性质，解决动点中的最短距离问题。【学习难点】能利用“两点之间，线段最短”及轴对称的性质，解决动点中的最短距离问题。【知识梳理】（一）等腰三角形：1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。2、性质：（1）等腰三角形是轴对称图形；（2）等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高，三线合一。3、判定：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）（二）等边三角形：1、定义：三条边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形。2、性质：（1）等边三角形是轴对称图形；（2）等边三角形的三个内角相等，并且每个内角等于60°。（3）等边三角形每条边上的高线和中线以及该边所对的角的角平分线互相重合（三线合一），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。3、判定：（1）三条边相等的三角形是等边三角形。（2）有两个角等于60°的三角形是等边三角形。（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（三）证明等腰三角形的常见方法：基本方法是：从定义，证明一个三角形的两条边相等；从角，证明一个三角形的两个角相等，常用技巧是：构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：1．“角平分线+平行线”构造等腰三角形；2．“角平分线+垂线”构造等腰三角形；3．用“垂直平分线”构造等腰三角形；4．用“三角形中角一个外角是不相邻内角的2倍关系”构造等腰三角形．【典例剖析】考点一：线段垂直平分线定理的应用例1.如图，E是△ABC的BC边上的点，DE垂直平分AB，△ACE的周长8.5，AB=3，求△ABC的周长。2GFEDCBA【变式1】如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠BDC的度数。【变式2】ABC中，22.5B，边AB的垂直平分线交BC于D，DFAC于F，交BC边上的高于G．求证：EGEC．考点二：角平分线定理的应用例2．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O平行于BC的直线分别交AB、AC于点D、E，已知AB=9cm，AC=8cm，求△ADE的周长。【变式1】已知：如图所示，PA，PC分别是△ABC外角∠MAC，∠NCA的平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，则BP是∠MBN的平分线吗？说明理由．【变式2】在Rt△ABC中。角BAC=90度，M为BC的中点，MD垂直BC交角BAC的平分线于点D，BC=10cm，求DM的长。ABMNDC3考点三：等腰三角形（等角对等边、等边对等角）例3.如图，已知：ABC中，ACAB，D是BC上一点，且CADCDBAD，，求BAC的度数。考点四：等腰三角形（三线合一）例4.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。考点五：轴对称的性质应用例5.（找准击球点）如图E、F是台球桌上的两个球，要使F球先撞击AB边，再撞击BC边击中E球，该怎样设计撞击路线？请画出示意图。【变式1】如图，已知∠AOB及线段PQ，能否找到一个点M，使MP=MQ，且M到OA、OB的距离相等？例6.（设计最短路线）（2015黔南州）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角AOBQPABDC·F·E4【变式练习1】（2015江津区期中）如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=6，则△PMN周长为（）A．4B．5C．6D．7【变式练习2】（2015绥化改）如图，在矩形ABCD中，AB=10，=15BAC．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A．10B．8C．5D．6【变式练习3】工厂A和工厂B之间有一条两岸平行的河，要在河上架一座桥，使A和B两工厂之间的距离最短，你作为工程师，应将桥架在什么为置？请画出你的设计方案。【课堂过关检测】1、（2015达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）A．48°B．36°C．30°D．24°2、（2015高新区校级模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（）A．8B．12C．4D．63、（2015醴陵市校级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第1题第2题第3题第4题4、（2015莒南县期末）如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是（）①点P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．A．全部正确B．仅①和②正确C．仅②③正确D．仅①和③正确5、（2015简阳市期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是（）A·B·MKHN5A．①②③④B．①②③C．④D．②③6、（2015端州区期末）已知等腰三角形一边长为4，一边的长为10，则等腰三角形的周长为（）A．14B．18C．24D．18或247、（2015孟津县期末）如图，已知AB=AC=BD，那么∠1和∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2B．2∠1﹣∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．3∠1﹣∠2=180°8、（2013西城区）如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（）A．50°B．75°C．80°D．105°第5题第7题第8题9、（2015九台市期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．10、（2015当涂县期末）如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．6【家庭作业】（第12次课：生活中的轴对称）校区：学号：姓名：______作业等级：____第一部分：1、（2015黔西县期末）如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．二处C．三处D．四处2、（2015寿光市期末）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB，垂足为E．若PE=3，则两平行线AD与BC间的距离为（）A．3B．5C．6D．不能确定3、（2015沙河市期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）A．7.5°B．10°C．15°D．18°第1题第2题第3题第二部分：4、AC是正方形ABCD的对角线，M是AB边的中点，请在AC上确定一点P，使PB+PM最小。5、如图，A、B两村相隔两条河，每条河的宽度相同，为了使两村之间的行程最短，应分别在河的什么位置架桥？第三部分：6、（2015潮南区期末）如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．DMCBA·河河A·B·