概率论与数理统计考点

《概率论与数理统计》第一章随机事件与概率事件之间的关系：事件之间的运算：运算法则：交换律A∪B=B∪AA∩B=B∩A结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)对偶律A∪B‾‾=A‾∩B‾A∩B‾‾=A‾∪B‾古典概型：概率公式：求逆公式P(A‾)=1-P(A)加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB);当AB时，有P(A-B)=P(A)-P(B)注意：A-B=AB‾=A-AB=(A∪B)-B条件概率公式：P(A|B)=P(AB)P(B);(P(B)0)P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率。乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)(其中P(A)0,P(B)0)一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)(其中P(AB)0)全概率公式：P(A)=i=1nP(A|Bi)P(Bi)其中B1,B2,…,Bn构成的一个分斥。贝叶斯公式：P(Ak|B)=P(B|Ak)P(Ak)P(B)=P(B|Ak)P(Ak)i=1nP(B|Ai)P(Ai)（由果溯因）概论的性质：事件的独立性：如果事件A与事件B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。结论：1.如果P(A)0，则事件A与B独立2.事件A与事件B独立事件A与事件B‾独立事件A‾与事件B独立事件A‾与事件B‾独立贝努里概型：指在相同条件下进行n次试验；每次试验的结果有且仅有两种A与A‾；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p,P(A‾)=1-p。二项概率---在n重独立试验中，事件A恰好发生k次的概率为b(k;n,p)，则b(k;n,p)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,3,…,n)。第二章随机变量与概率分布随机变量的分布函数：分布函数F(x)的性质(1)0≤F(x)≤1;(2)limx-F(x)=0,limx+F(x)=1一些概率可用分布函数来表示P{a≤b}=F(b)-F(a),P{=a}=F(a)-F(a-0),P{a}=F(a-0),P{a}=1-F(a),P{≥a}=1-F(a-0),离散型随机变量常见分布：1)两点分布X~(0,1)；X的取值只有0或1，其概率为P{X=0}=p,P{X=1}=1-p2)二项分布X~B(n,p)；分布律为b(k;n,p)=P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,3,…,n)其中0p13)泊松分布X~P()；分布律为P{X=k}=kk!e-(k=0,1,2,3,…)。4)几何分布：X~Ge(p)；分布列为P{X=k}=(1-p)k-1p(k=0,1,2,3,…)。在伯努利试验序列中，记每次试验中事件A发生的概率为p，如果X为事件A首次出现时的试验次数，则X的可能取值为1,2,…,称X服从几何分布。如果说恰好出现K次，则用二项分布b(k;n,p)=P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,3,…,n)其中0p15)超几何分布：X~h(n,N,M)；分布列为P{X=k}=CMkCN-Mn-kCNn(k=0,1,2,3,…,r,其中r=min{M,n})。设有N个产品，其中有M个不合格品，若从中不放回地随机抽取n个，则其中含有的不合格品个数X服从超几何分布。连续性随机变量：密度函数.密度函数必须满足条件：(1)p(x)0,-∞x+∞(2)-∞+∞p(x)dx=F(+∞)=1连续型随机变量的性质：1.分布函数是连续函数；2F(x)=p(x);3P{=a}=0,所以P{ab}=P{ab}=P{ab}=P{ab}=abp(x)dx4P{xx+x}p(x)x常见连续型型随机变量的分布：1)均匀分布~U[a,b]；密度函数p(x)=1b-aaxb0其他分布函数F(x)=0xax-ab-aaxb1xb2)指数分布~exp()；密度函数p(x)=e-xx00x0分布函数F(x)=1-e-xx00x03)正态分布~N(,2)；密度函数p(x)=12e-(t-)222(-∞x+∞)分布函数F(x)=12-xe-(t-)222dt标准正态分布N(0,1)，它的分布函数(x)可查表得到，一般F(x)=(x-)。随机变量的函数的概率分布：1．离散型的求法设离散型随机变量X的分布律为：Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…,则X的函数Y=g(X)的分布律为：Yg(x1)g(x2)…g(xk)…Pp1p2…pk…,当g(xj)有相同情况时，概率为相应之和。2．连续型的公式法：设X为连续型随机变量，其密度函数为fX(x)，设g(x)是一严格单调的可导函数，其值域[,]，且g(x)0，记x=h(y)为y=g(x)的反函数，则Y=g(X)的密度函数为fY(y)=fX(h(y))|h(y)|y0其它3．连续型的直接变换法(分布函数法)：FY(y)=P{Yy}=P{g(x)y}=P{XS}，其中S={x|g(x)y}，然后再把FY(y)对y求导，即得fY(y)fY(y)=dFY(y)/dy当FY(y)在y处可导时0当FY(y)在y处不可导时第三章多维随机变量及其概率分布二维随机变量：二维随机向量(,)的联合分布函数指F(x,y)=P{x,y}0F(x,y)1;F(-∞,+∞)=F(x,-∞)=F(-∞,y)=0;F(+∞,+∞)=1;P{x1x2,y1y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)二维随机向量(,)的边缘分布函数F(x)=P{x}=F(x,+∞),F(y)=P{y}=F(+∞,y)二维离散随机变量：二维离散型随机变量及其概率分布P{=xi,=yj}=pij,其中i=1j=1pij=1且pij0可用一个分布列表或分布列矩阵(pij)来表示的边缘分布列为P{=xi}=j=1pij=pi*的边缘分布列为P{=yj}=i=1pij=p*二维连续随机变量：二维连续型随机向量(,)的分布函数F(x,y)=-∞x-∞yp(u,v)dudvp(x,y)称为随机向量(,)的联合密度函数p(x,y)0,-∞+∞-∞+∞p(x,y)dxdy=1,2F(x,y)xy=p(x,y)利用密度函数求概率P{(,)D}=Dp(x,y)dxdy二维连续型随机向量(,)的边缘分布,p(x)，p(y)称为边缘密度函数p(x)=-∞+∞p(x,y)dyp(y)=-∞+∞p(x,y)dx条件分布：离散型：在条件Y=yj下随机变量X的条件概率分布为P{X=xi|Y=yj}=P{X=xi，Y=yj}P{Y=yj}=pijp*j,i=1,2,…连续型：在条件Y=y下随机变量X的条件分布函数FX|Y(x|y)与条件概率密度函数fX|Y(x|y)分别为：FX|Y(x|y)=-∞xf(u,y)fY(y)dufX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y)二元正态分布：二元正态分布N(1,2,12,22,)的密度函数p(x,y)=12121-2exp{-12(1-2)[(x-1)212-2(x-1)(y-2)12+(y-2)222]}二元正态分布N(1,2,12,22,)的边缘密度分布仍是正态分布~N(1,12),~N(2,22)边缘概率密度为fX(x)=112e-(x-1)2212,fY(y)=122e-(y-2)2222二元均匀分布：(X,Y)在区域D上服从均匀分布设D是xOy面上的有界区域，其面积为A。如果二维随机变量(X,Y)具有概率密度f(x,y)=1A(x,y)D0其他，则称(X,Y)在区域D上服从均匀分布。独立性：若F(x,y)=F(x)F(y)，则称随机变量与相互独立。几个充要条件：连续型随机变量与相互独立p(x,y)=p(x)p(y)离散型随机变量与相互独立pij=pipj二元正态分布N(1,12,2,22,)随机变量与相互独立=0。X与Y相互独立f(X)与g(Y)也相互独立。两个随机变量的函数的分布：几条结论：1.X~P(1),Y~P(2),若X与Y相互独立，则X+Y~P(1+2);2.X~N(1,12),Y~N(2,22),X与Y相互独立，则X+Y~N(1+2,12+22);3.(卷积公式)设(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)，关于X,Y的边缘概率密度分别为fX(x),fY(y)，设X与Y相互独立，则Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=-∞+∞f(x,z-x)dx或fZ(z)=-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy=-∞+∞f(z-y,y)dy.多维随机变量：n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数F(x1,x2,…,xn)=P{X1x1,X2x2,…,Xnxn}.如果X1,X2,…,Xn相互独立，且每个Xi~N(i,i2),则X=a1X1+a2X2+…+anXn~N(i=1naii,i=1nai2i2)如果X1,X2,…,Xn相互独立，Xj的分布函数为FXj(xj)，则M=max{X1,X2,…,Xn}的分布函数为Fmax(z)=FX1(x1)FX2(x2)…FXn(x1n)，则m=min{X1,X2,…,Xn}的分布函数为Fmin(z)=1-[(1-FX1(x1))(1-FX2(x2))…(1-FXn(x1n))]第四章随机变量的数字特征数学期望：1.随机变量数学期望的定义—离散型E()=i=1xipiE(g())=i=1g(xi)pi连续型E()=-∞+∞xp(x)dxE(g())=-∞+∞g(x)p(x)dx2.二维随机变量(X,Y)的数学期望：离散型E(X)=i=1xipi*=ijxipijE(Y)=jyjp*j=ijyipij连续型E(X)=-∞+∞xfX(x)dx=-∞+∞-∞+∞xf(x,y)dxdyE(Y)=-∞+∞yfY(y)dy=-∞+∞-∞+∞yf(x,y)dxdy3.二维随机变量X的函数Y=g(X)的数学期望：E[g(X,Y)]=ijg(xi,yj)pijE[g(X,Y)]=-∞+∞-∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy4.数学期望的性质E(c)=c,E(a)=a,E()=EE若与相互独立，则E()=EE方差：1.随机变量方差的定义-D(X)=E[X-E(X)]2=EX2–(EX)2D(X)=-∞+∞[x-E(X)]2f(x)dx2.方差性质：D(c)=0,D(a)=a2,D(a+b)=a2D,D()=D+D2cov(,)若与相互独立，则D()=D+D协方差：1.与的协方差cov(,)=E[(-E)(-E)](或为)2.协方差的性质：cov(,)=Dcov(,)=cov(,),cov(,c)=0cov(a,b)=abcov(,),cov(,)=cov(,)cov(,)相关系数：与的相关系数的定义=cov(,)DD相关系数反映了随机变量与之间的线性相关的程度。注意||1。当=0，则称与不相关；当||=1，则称