误差理论与数据处理基础知识

误差理论与数据处理基础知识1误差理论与数据处理基础知识0-1物理实验中的测量误差与不确定度误差和不确定度的概念物理实验离不开对各种物理量进行测量，由测量所得的一切数据，都毫无例外地包含有一定数量的测量误差，没有误差的测量结果是不存在的。测量误差存在于一切测量之中，贯穿于测量的全过程。随着科学技术水平的不断提高，测量误差可以被控制得越来越小，但却永远不会降低到零。测量误差＝测量值—真值。何谓真值？真值是在特定条件下被测量量的客观实际值，当被测量的测量过程完全确定，且所有测量的不完善性完全排除时，则测量值就等于真值。这就是说，真值是通过完善的测量才能获得。然而，严格、完善的测量难以做到，故真值就不能确定。在实践中，有一些物理量的真值或从相对意义上来说的真值是可以知道的，这有如下几种：（1）理论真值。如平面三角形三内角之和恒为180°；某一物理量与本身之差恒为零，与本身之比值恒为1；理论公式表达值或理论设计值等。（2）计量单位制中的约定真值。国际单位制所定义的七个基本单位，根据国际计量大会的共同约定，凡是满足上述定义条件而复现出的有关量值都是真值。（3）标（基）器相对真值。凡高一级标准器的误差是低一级或变通测量仪器误差的31～201时，则可认为前者是后者的相对真值。如经国家级鉴定合格的标准器称为国家标准器，它在同一计量单位中精确度最高，从而作为全国该计量单位的最高依据。国际铂铱合金千克原器的质量将作为国际千克质量的真值。在科学实验中，真值就是指在无系统误差的情况下，观测次数无限多时所求得的平均值。但是，实际测量总是有限的，故用有限次测量所求得的平均值作为近似真值（或称最可信赖值）。1．误差（error）误差即观测值与真值之间的差异。如前所述，测量误差就是测量值减去真值。（1）绝对误差（absoluteerror）。某物理量值与其真值之差称绝对误差，它是测量值偏离真值大小的反映，有时又称真误差。即绝对误差＝量值-真值修正值＝-绝对误差＝真值-量值真值＝量值+修正值这说明量值加上修正值后，就可以消除误差的影响。在精密计量中，常常用加近代物理实验教程2一个修正值的方法来保证量值的准确性。（2）相对误差（relativeerror）。绝对误差与真值的比值所表示的误差大小称为相对误差或误差率。有时，两组测量的绝对误差相同，但真值不同，而此时实际反映了两种不同的准确度。所以采用相对误差就能够清楚地表示出测量的准确程度。按定义，11绝对误差测量值绝对误差测量值绝对误差真值绝对误差相对误差当绝对误差很小时，1绝对误差测量值，此时测量值绝对误差相对误差相对误差还有一种表达形式，即分贝误差。同种物理量之比取对数，再乘以20，这称为分贝A（单位用dB表示）。设两个同种物理量之比为12ppa（0-1-1）则按分贝的定义有aaaAln69.8303.2ln20lg20（0-1-2）如果比值a产生了一个误差a，那末将引起A产生一个误差A（此为分贝误差），则aaAAlg20（0-1-3）式（0-1-3）减去式（0-1-2），得aaaaA1ln69.81lg20（0-1-4）该式即为相对误差aa与分贝误差A之间的关系式。从数学上可知aaaaaa1lnlim则式（0-1-4）可写成aaA69.8或Aaa1151.0误差理论与数据处理基础知识3分贝误差主要用在声学及无线电计量之中，如计算声压级，按规定空气中的基准声压Pap50102（大约相当于蚊子飞行发出声音的声压），如有一声的声压Pap202，则其声压级按式（0-1-4）计算为dBA12010220lg205。相对误差还有一种简便实用的形式——引用误差。它在多挡或连续刻度的仪表中得到广泛应用。为了减少误差计算中的麻烦和划分仪表正确度等级的方便，一律取仪表的量程或测量范围上限值作为误差计算的分母（即基准值），而分子一律取用仪表量程范围内可能出现的最大绝对误差值。于是，定义引用误差为%100仪表量程绝对误差引用误差在热工、电工仪表中，正确度等级一般都是用引用误差来表示的，通常分成0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5和5.0七级。上述数值表示该仪表最大引用误差的大小，但不能认为仪表在各个刻度上的测量都具有如此大的误差。例如某仪表正确度等级为R级（即引用误差为R%），满量程的刻度值为X，实际使用时的测量值为x（一般x≤X），则%100/xRXRX测量值的相对误差测量值的绝对误差（0-1-5）通过上面的分析，可知为了减少仪表测量的误差，提高正确度，应该使仪表尽可能在靠近满量程刻度的区域内使用。这正是人们利用或选用仪表时，尽可能在满刻度量程的32以上区域内使用的原因。（3）误差的分类根据误差产生的原因和性质将误差分为系统误差和随机误差两大类。①系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，测量值对真值的偏离（包括大小和方向）总是相同的，这类误差称为系统误差。系统误差的特点是恒定性，不能用增加测量次数的方法使它减小，在实验中发现和消除系统误差是很重要的，因为它常常是影响实验结果准确程度的主要因素，能否用恰当的方法发现和消除系统误差，是测量者实验水平高低的反映，但是又没有一种普遍适用的方法去消除系统误差，主要是靠对具体问题作具体的分析与处理，要靠实验经验的积累。如果我们能够确定系统误差的数值，就应该把它从实验结果中扣除，消除它的影响，或者说，把系统误差的影响减小到偶然误差的范围以内，这种数值已知的系统误差称为“已定系统误差”。还有一类系统误差，只知道它存在于某个大致范围，而不知道它的具体数值，我们称之为“未定系统误差”。例如仪器的允差就属于这一类。关于系统误差的限制和消除将在后面介绍近代物理实验教程4②随机误差（偶然误差）由于偶然的不确定因素造成每一次测量值的无规律的涨落，测量值对真值的偏离时大时小、时正时负，不能由上次测量值预计下一次测量值的大小，这类误差称为随机误差，也称偶然误差。造成偶然误差的因素是多方面的，如仪器性能和测量者感官分辩力的统计涨落，环境条件（如温度、湿度、气压、气流、微震……）的微小波动，测量对象本身的不确定性（如气压、放射性物质单位时间内衰变的粒子数，小球直径或金属丝直径……）等等。偶然误差的特点是它的随机性，如果在相同的宏观条件下，对某一物理量进行多次测量，当测量次数足够大时，便可以发现这些测量值呈现出一定的规律性——统计规律性，即它们服从某种概率分布。下面我们对一个实际测量的结果进行统计分析（表0-1-1），就可以发现随机误差的特点和规律。表0-1-1中观测总次数n＝150次，某测量值的算术平均值为3.01，共分14个分区间，每个区间的间隔为0.01。为直观起见，把表中的数据画成频率分布的直方图如（图0-1-1），从图中便可分析归纳出随机误差的以下四个特点。表0-1-1测值分布值区间1234567测值xi2.952.962.972.982.993.003.01误差-0.06-0.05-0.04-0.03-0.02-0.010出现次数nI46611142024频率nnfii0.0270.040.040.0730.0930.1330.16区间891011121314测值xI3.023.033.043.053.063.073.08误差Δxi0.010.020.030.040.050.060.07出现次数ni17121210842频率nnfii0.1130.080.080.0660.0580.0270.018误差理论与数据处理基础知识5图0-1-1频率分布直方图a）随机误差的有界性。在某确定的条件下，误差的绝对值不会超过一定的限度。表0-1-1中的Δxi均不大于0.07，可见绝对值很大的误差出现的概率近于零，即误差有一定限度。b）随机误差的单峰性。绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大，最小误差出现的概率最大。表0-1-1中03.0x的次数为110次，其中01.0x的占61次，而03.0x的仅40次。可见随机误差的分布成单峰形c）随机误差的对称性。绝对值相等的正负误差出现的概率相等。表0-1-1正误差出现的次数为65次，而负误差为61次，两者出现的频率分别为0.427和0.407，大致相等。d）随机误差的抵偿性。在多次、重复测量中，由于绝对值相等的正负误差出现的次数相等，所以全部误差的算术平均值随着测量次数的增加趋于零，即随机误差具有抵偿性。抵偿性是随机误差最本质的统计特性，凡是具有相互抵偿特性的误差，原则上都可以按随机误差来处理。虽然随机误差产生的原因尚不清楚，但由于它总体上遵守统计规律，因此理论上可以计算出它对测量结果的影响。（4）误差的表示方法①算术平均误差在一组测量中，用全部测值的随机误差绝对值的算术平均值来表示。按定义nxxnii1（0-1-6）式中：xi——一组测量中的各个测量，i＝1，2，……，n（测量的次数）；x——一组测值的算术平均值，iixxx——第i个测值xi与平均值x之偏差（即误差）的绝对值这种表示方法已经考虑到了观测次数n对随机误差的影响，但是各次观测中相近代物理实验教程6互间符合的程度不能予以反映。因为一组测量中，偏差彼此接近的情况与另一组测量中偏差有大、中、小的情况，两者的算术平均误差很可能相等。②标准误差（又称均方根误差）它是观测值与真值偏差的平方和观测次数n比值的平方根，按定义ndnAxniinii1212（0-1-7）式中，A——被测物理量的真值；Axdii——第i个测值xi与真值A之偏差。在实际测量中，观测次数n总是有限的，真值只能用最可信赖（最佳）值来代替，此时的标准误差按下式计算：1112121nxnxxniiniin（0-1-8）标准误差对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感，所以，标准误差能够很好地反映出测量的精密度。这正是标准误差在工程测量中广泛被采用的原因。例1有两组观测数据：第一组2.9、3.1、3.0、2.9、3.1第二组3.0、2.8、3.0、3.0、3.2求平均值x、算术平均误差δ、标准误差，并分析其准确度及精密度。解列表计算如下：第一组测量算术平均值x3.0算术平均误差δ08.051.01.001.01.0标准误差n-11.0151.01.01.01.02222第二组测量算术平均值x3.0算术平均误差δ08.052.0002.00标准误差n-1141.0152.02.022从计算结果可知：①两组数据的平均值一样，即测量的准确度一样；②两组数据的测量精密度实际上不一样。因为第一组数据的重现性较好，但此时的算术平均误差理论与数据处理基础知识7误差δ是一样的，显然δ未能反映出精密度来。标准误差n-1的计算结果说明第一组测量数据比第二组精密度高。标准误差不仅仅是一组观测值的函数，而且更重要的是它对一组测量中的大误差及小误差反映比较敏感。因此，在试验中广泛用标准误差来表示测量的精密度。③极限误差通常定义极限误差的范围为标准误差的3倍，即±3n-1。从统计的角度计算得，所测物理量的真值落在±3n-1范围内的概率为99.7%，而超出此范围的可能性实际上已经非常小，故把它定义为极限误差。（5）几个重要概念①精密度（简称精度precision）它表示测量结果中随机误差大小的程度，即在一定条件下，进行多次、重复测量时，所得测量结果彼此之间符合的程度，通常用随机不确定度来表示。②正确度（correctness）它表示测量结果中系统误差大小的程度。即在规定的条件下，测量中所有系统误差的综合。③准确度（又称精确度accuracy）准确度是测量结果中系统误差与随机误差的综合，它表示测量结果与真值的一致程度。从误差的观点来看，准确度反映了测量的各类误差的综合。如果所有已定系统误差已经修正，那末准确度可用不确定度来表示。2