第14讲哈密顿算子2

第14讲哈密顿算子（2）张元中中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院z《矢量分析与场论》主要内容z4.算子运算教材：第3章z《矢量分析与场论》z4.算子运算∇z在应用这些公式的时候，设法将其中的常矢都移到的前面，而将变矢都保留在的后面。∇)()()(BACACBCBAvvvvvvrvvו=ו=וz算子的运算中，经常用到三个矢量的混合积公式，及二重矢量积公式，∇)()()(BACCABCBAvvvvvvrvv•−•=××例4：证明（14）)()()()()(BAABBAABBAvvvvvvvvvv•∇+•∇−∇•−∇•=××∇)()()(ccBABABAvvvvvv××∇+××∇=××∇证：根据算子的微分性质，应用乘积的微分法则，则有，∇)()()(BACCABCBAvvvvvvrvv•−•=××)()()()()(BAABBAABBAvvvvvvvvvv•∇+•∇−∇•−∇•=××∇)()()(∇•−•∇=××∇cccABBABAvvvvvvBABAvvvv)()(∇•−•∇=)()()(ABABBAcccvvvvvv•∇−∇•=××∇)()(ABABvvvv•∇−∇•=z4.算子运算解：3=•∇rvyzxkzjyixusin3)(vvv∂∂+∂∂+∂∂=∇例5：已知，，求。yzxusin3=ruv•∇kzjyixrvvvv++=rururuvvv•∇+•∇=•∇)coscos(sin3kyzxyjyzxziyzvvv++=rururuvvv•∇+•∇=•∇rkyzxyjyzxziyzyzxvvvv•+++=)coscos(sin3sin9yzxyzyzxcos6sin12+=z4.算子运算Av×∇例6：设，求点处。)1,2,1(MkyzjyzxixzAvvvv42322+−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=34222382022430yzzyxzxxyzxzzADvkxyzjxziyxzAvvvv)04()03()]2(2[224−−+−+−−=×∇解：因为，故由的雅可比矩阵ArotAvv=×∇Avkxyzjxziyxzvvv43)22(224−++=kjiAMvvvv836−+=×∇z4.算子运算rv例7：验证，其中为常矢，为位置矢量。av∫∫∫•=•×SlSdaldravvvvv2)(证：斯托克公式为，，raAvvv×=∫∫∫•×∇=•SlSdAldAvvvv)(取∫∫∫∫•××∇=•=•×SllSdraldAldravvvvvvvv))(()()()()()()(BAABBAABBAvvvvvvvvvv•∇+•∇−∇•−∇•=××∇)()()()()(raarraarravvvvvvvvvv•∇+•∇−∇•−∇•=××∇arayaxazzyxvv30)(0+−∂∂+∂∂+∂∂−=akajaiazyxvvvv3)(+++−=aavw3+−=av2=∫∫∫•=•×SlSdaldravvvvv2)(z4.算子运算例8：验证格林第一公式与格林第二公式，证：奥氏公式为，，vuA∇=v∫∫∫∫∫ΩΔ+∇•∇=•∇dVvuuvSdvuS)()(v取∫∫∫∫∫ΩΔ−Δ=•∇−∇dVuvvuSduvvuS)()(vdVASdAS∫∫∫∫∫Ω•∇=•vvvAuAuAuvvv•∇+•∇=•∇dVvuSdvuS∫∫∫∫∫Ω∇•∇=•∇)()(vdVvuvu∫∫∫Ω∇•∇+∇•∇=)(dVvuvu∫∫∫ΩΔ+∇•∇=)(z4.算子运算证：同理可得，∫∫∫∫∫ΩΔ+∇•∇=•∇dVvuuvSdvuS)()(v两式相减，可得，∫∫∫∫∫ΩΔ−Δ=•∇−∇dVuvvuSduvvuS)()(vdVuvuvSduvS∫∫∫∫∫ΩΔ+∇•∇=•∇)(vdVvuvuSdvuS∫∫∫∫∫ΩΔ+∇•∇=•∇)(v∫∫∫∫∫ΩΔ−Δ=•∇−∇dVuvvuSduvvuS)()(v例8：验证格林第一公式与格林第二公式，z4.算子运算由于∫∫∫∫∫ΩΔ+∇•∇=•∇dVvuuvSdvuS)()(v∫∫∫∫∫ΩΔ−Δ=•∇−∇dVuvvuSduvvuS)()(vdVvuvuSdvuS∫∫∫∫∫ΩΔ+∇•∇=•∇)(v当时，可得，vu=dVuuuSduuS∫∫∫∫∫ΩΔ+∇=•∇))((2v通用的形式，∫∫∫∫∫Ω∇+∇•∇=•∇dVvuuvdSnvuS)()(2v，∫∫∫∫∫Ω∇−∇=•∇−∇dVuvvudSnuvvuS)()(22vdVuuudSnuuS∫∫∫∫∫Ω∇+∇=•∇))((22v例8：验证格林第一公式与格林第二公式，z4.算子运算;)(aarvvv=•∇（1）例：设为常矢，，，求证（习题7第6题）bavv,rrv=kzjyixrvvvv++=（2）);(1)(arrarvvv•=•∇（3）);(1)(arrarvvv×=×∇（4）;])[(babarvvvvv×=•×∇（5）].)()[(2)(2araraaravvvvvvvv•−•=×∇z4.算子运算证明：（1）例：设为常矢，，，求证（习题7第6题）bavv,rrv=kzjyixrvvvv++=)(arvv•∇（2）))((arkzjyixvvvvv•∂∂+∂∂+∂∂=))((zyxzayaxakzjyix++∂∂+∂∂+∂∂=vvv.av=)(arv•∇).(1arrvv•=ararvv•∇+•∇=)(arrvv•=（3）)(arv×∇).(1arrvv×=ararvv×∇+×∇=)(arrvv×=（4）])[(barvvv•×∇barbarvvvvvvו∇+×∇•=)]([)(bavv×=z4.算子运算证明：（5）例：设为常矢，，，求证（习题7第6题）bavv,rrv=kzjyixrvvvv++=)(2ravv×∇))(())(()()(cbdadbcadcbavvvvvvvvvvvv••−••=ו×)]()[(raravvvvו×∇=)(2ravv×∇)])(())([(rararraavvvvvvvv••−••∇=22)()()(raraavvvv•∇−∇•=)()(2)(2rararaarvvvvvv•∇•−∇•=ararraarvvvvvv)(2)(2•−•=])()[(2araraavvvvvv•−•=z4.算子运算求证满足以下方程组（习题7第7题）AuBvv×∇+∇=例：已知函数和无源场分别满足，证明：因代入，Avu),,,(zyxFu=Δ),,(zyxGAvv−=Δ),,,(zyxFB=•∇v),,(zyxGBvv=×∇AuBvv×∇+∇=有)(AuBvv×∇+∇•∇=•∇)(Auv×∇•∇+∇•∇=)(Auv×∇•∇+Δ=,0)(=×∇•∇Av),,,(zyxFu=Δ)(AuBvv×∇•∇+Δ=•∇0),,(+=zyxF),,(zyxF=z4.算子运算求证满足以下方程组（习题7第7题）AuBvv×∇+∇=例：已知函数和无源场分别满足，证明：因代入，Avu),,,(zyxFu=Δ),,(zyxGAvv−=Δ),,,(zyxFB=•∇v),,(zyxGBvv=×∇AuBvv×∇+∇=有)(AuBvv×∇+∇×∇=×∇)(Auv×∇×∇+∇×∇=,0)(=∇×∇u),,,(zyxGAvv−=Δ),,(zyxGBvv=×∇AAuvvΔ−•∇∇+∇×∇=)(0=•∇Avz4.算子运算证明：（1）格林第一公式为，（1）∫∫=∂∂SdSnf0例：设为区域的边界曲面，为的向外单位法矢，与均为中的调和函数，证明SΩnvSfgΩ（2）∫∫∫∫∫Ω∇=∂∂SdVfdSnff2（习题7第8题）（3）∫∫∫∫∂∂=∂∂SSdSnfgdSngf∫∫∫∫∫ΩΔ+∇•∇=•∇dVvuuvSdvuS)()(vz4.算子运算证明：（1）∫∫∫∫∫ΩΔ+∇•∇=•∇dVvuuvSdvuS)()(v∫∫∫∫∫ΩΔ+∇•∇=•∇dVffSdfS)11()1(v令，可得，fvu==,1为调和函数，故，故有，f0=Δf0)(=•∇∫∫SSdfv∫∫•∇=SdSnfv)(∫∫∂∂=SdSnf0=∂∂∫∫SdSnf为中调和函数的充要条件是，fΩz4.算子运算证明：（2）∫∫∫∫∫ΩΔ+∇•∇=•∇dVvuuvSdvuS)()(v∫∫∫∫∫ΩΔ+∇•∇=•∇dVffffSdffS)()(v令，可得，fvfu==,为调和函数，故，故有，f0=Δf∫∫∫∫∫Ω∇=•∇dVfSdffS2)(v∫∫∫∫•∇=•∇SSdSnffSdffvv)()(∫∫∂∂=SdSnff∫∫∫∫∫Ω∇=∂∂SdVfdSnff2z4.算子运算证明：（3）令，可得，gvfu==,为调和函数，故，故有，gf,00,=Δ=Δgf∫∫∫∫∫ΩΔ−Δ=•∇−∇dVuvvuSduvvuS)()(v∫∫∫∫∫ΩΔ−Δ=•∇−∇dVfggfSdfggfS)()(v0)(=•∇−∇∫∫SSdfggfv∫∫∫∫•∇=•∇SSSdfgSdgfvv∫∫∫∫•∇=•∇SSdSnfgdSngfvv∫∫∫∫∂∂=∂∂SSdSnfgdSngfz4.算子运算例：证明（14）)()()()()(BAABBAABBAvvvvvvvvvv•∇+•∇−∇•−∇•=××∇)()()(BABABABAvvvvvvvv××∇+××∇=××∇)()()(BACCABCBAvvvvvvrvv•−•=××)()()()()(BAABBAABBAvvvvvvvvvv•∇+•∇−∇•−∇•=××∇BAABBAAAAvvvvvvvvv)()()(•∇−∇•=××∇证：算子首先是算子，对分别起作用，BAvv,∇算子又是普通矢量，与构成双重叉积，BAvv,∇上式右端第一项算子为，不能写成，BAvv•∇Av∇ABBAABBABBBBvvvvvvvvvvvv)()()()(•∇+∇•−=××−∇=××∇z4.算子运算