艺术生高考数学专题讲义：考点5-函数的性质——单调性、奇偶性与周期性

艺体生高考数学培训第1页共7页考点五函数的性质——单调性、奇偶性、周期性知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．从图象来看，增函数图象从左到右是上升的，减函数图象从左到右是下降的，如图所示：（2）单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．2．函数的奇偶性(1)奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．(2)判断函数的奇偶性的步骤与方法判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：①考察定义域是否关于原点对称．②考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．函数的周期性(1)周期函数的概念：对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，则称y＝f(x)为周期函数，非零常数T叫做函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．艺体生高考数学培训第2页共7页(3)一般地，如果T为函数f(x)的周期，则nT（n∈Z）也是函数f(x)的周期，即有f(x＋nT)＝f(x)．(4)最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x要加上的最小正数，这个正数是相对x而言的．并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如常数函数f(x)＝C（C为常数）就没有最小正周期．典例剖析题型一函数单调性的判断例1下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________.(填序号)①y＝x＋1②y＝(x－1)2③y＝2－x④y＝log0.5(x＋1)答案①解析由基本初等函数的性质得，选项②中的函数在(0，1)上递减，选项③，④中的函数在(0，＋∞)上为减函数，选①.变式训练下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是________.(填序号)①f(x)＝x12②f(x)＝x3③f(x)＝12x④f(x)＝3x答案④解析f(x)＝x12，f(x＋y)＝(x＋y)12≠x12·y12，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，①不满足题意．f(x)＝x3，f(x＋y)＝(x＋y)3≠x3·y3，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，②不满足题意．f(x)＝12x，f(x＋y)＝12x＋y＝12x·12y，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，但f(x)＝12x不是增函数，③不满足题意．f(x)＝3x，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(x)＝3x是增函数，④满足题意．解题要点确定函数单调性的常用方法：(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性．(3)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性．(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性．题型二函数单调性的应用例2如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是________.答案－14≤a≤0解析当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－1a，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a0，且－1a≥4，解得－14≤a0.综合上述得－14≤a≤0.变式训练函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是13，则a＋b＝________.艺体生高考数学培训第3页共7页答案6解析易知f(x)在[a，b]上为减函数，∴fa＝1，fb＝13，即1a－1＝1，1b－1＝13，∴a＝2，b＝4.∴a＋b＝6.解题要点1.利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③注意数形结合思想的运用，借助图形列出对应不等式，从而求出参数范围．2.利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．题型三求函数的单调区间例3求函数y＝log13(x2－4x＋3)的单调区间．解析令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝log13u与u＝x2－4x＋3的复合函数．令u＝x2－4x＋30，则x1或x3.∴函数y＝log13(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝log13u在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝log13(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．解题要点1.求单调区间的常用方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法．2．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤：(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．3．求单调区间时需注意两点：①最终结果写成区间的形式；②不可忽视定义域．题型四判断函数的奇偶性例4判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(3)f(x)＝3－x2＋x2－3.解析(1)定义域为R，关于原点对称，艺体生高考数学培训第4页共7页又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)＝－f(x)，∴函数为奇函数．(2)由1－x1＋x≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数．(3)因为f(x)定义域为{－3，3}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数．解题要点判断函数单调性的两个步骤：1.判断函数定义域是否关于原点对称；2.判断f(－x)与f(x)关系.若f(－x)＝－f(x)则函数为奇函数；若f(－x)＝f(x)则函数为偶函数．或是利用下列两个等价关系式进行判断：若f(x)＋f(－x)＝0则函数为奇函数；若f(x)－f(－x)＝0则函数为偶函数．题型五函数的周期性例5已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1fx，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.答案2.5解析由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1fx＋2＝－1－1fx＝f(x)．故函数的周期为4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.解题要点关于函数周期性的三个常用结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a.题型六函数性质的综合运用例6已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)f13的x的取值范围是________．答案13，23解析偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，有f(2x－1)f13⇔f(|2x－1|)f13，进而转化为不等式|2x－1|13，解这个不等式即得x的取值范围是13，23.艺体生高考数学培训第5页共7页当堂练习1.函数f(x)＝x3－x的图象关于________对称.答案原点解析由f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f(x)，知f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称．2．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为________．答案0解析∵f(x)为奇函数且f(x＋4)＝f(x)，∴f(0)＝0，T＝4，∴f(8)＝f(0)＝0.3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________．答案1解析因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.4．函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间是________．答案(－∞，－2)解析因为y＝log12t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．5．函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f(a＋1)f(2a)，则实数a的取值范围是________．答案[－1，1)解析由条件－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋12a，解得－1≤a1.课后作业一、填空题1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为________．(填序号)①y＝x＋1②y＝－x2③y＝1x④y＝x|x|答案④2．函数y＝1－1x－1________．(填序号)①在(－1，＋∞)上单调递增②在(－1，＋∞)上单调递减③在(1，＋∞)上单调递增④在(1，＋∞)上单调递减答案③3．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是________．(填序号)①y＝1－x2②y＝x2＋x③y＝－－x④y＝xx－1答案④艺体生高考数学培训第6页共7页4．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有fx2－fx1x2－x10”的是________．(填序号)①f(x)＝1x②f(x)＝(x－1)2③f(x)＝ex④f(x)＝ln(x＋1)答案①解析满足fx2－fx1x2－x10其实就是f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选①.5．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．答案3解析∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，又g(x)为偶函数，∴g(－1)＝g(1)，∴－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，将两式相加得2g(1)＝6，∴g(1)＝3.6．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是________．(填序号)①y＝x3②y＝|x|＋1③y＝－x2＋1④y＝2－|x|答案②7．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是________．答案－∞，－32解析由题意得－2a－12≥2，得a≤－32.8．定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)