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数学必修①·人教A版新课标导学第一章集合与函数概念据央视新闻报道，中国于2016年年中至2017年上半年间，组织实施载人航天工程空间实验室任务．中国发射了“神舟”十一号飞船，搭乘2名航天员，与天宫二号对接，在飞船进入预定轨道的过程中包含了一些可以用函数描述的变化规律，如上升过程中飞船离地面的距离随时间的变化而变化，飞船外的温度和气压随飞船与地面的距离的变化而变化，等等．而高中的函数是用集合来刻画的，集合语言是一种抽象的数学语言，学习集合语言最好的方法就是使用，非洲大草原上生存着几千种动物，它们常常面临着生与死的考验，为了生存，它们过着“群居”的生活，这种“物以类聚”就产生某种动物集合．让我们一起走进“集合”世界，探索集合的奥秘.1.1集合1.1.1集合的含义与表示1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民．有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”问题1：数学家说的集合是指什么？问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的________叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的________是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．总体元素[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa______Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa__________集合A∈不属于[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号__________________________________NN*或N＋ZQR(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的____________及____________________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的____________.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．一般符号取值(或变化)范围共同特征1．下列各组对象中不能组成集合的是()A．清华大学2019年入校的全体学生B．我国十三届全国人大二次会议的全体参会成员C．中国著名的数学家D．不等式x－10的实数解[解析]“著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法客观地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C．C2．已知a∈R，且a∉Q，则a可以为()A．2B．12C．－2D．－13A[解析]2∈R，且2∉Q，故选A．3．设x∈N，且1x∈N，则x的值可能是()A．0B．1C．－1D．0或1B[解析]∵x∈N，∴x≠－1，排除C，又∵1x∈N，∴x≠0，排除A、D，故选B．4．下列说法中①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合N中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的个数是_____.[解析]由数集的性质可知①③错误，②④正确．25．已知集合A中含有三个元素0,1，x，若x2∈A，求实数x的值．[解析]当x2＝0时，得x＝0，此时集合A中有两个相同的元素，舍去．当x2＝1时，得x＝±1.若x＝1，此时集合A中有两个相同的元素，舍去．若x＝－1，此时集合A中有三个元素0,1，－1，符合题意．当x2＝x时，得x＝0或x＝1，易知都不符合题意．综上可知，符合题意的x的值为－1.互动探究学案命题方向1⇨集合的基本概念下列各组对象：①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2018年在韩国举行的第23届冬奥会的所有参赛运动员；④的所有近似值．其中能够组成集合的是________.[思路分析]结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．②③典例1[解析]①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③.『规律方法』1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．,〔跟踪练习1〕下列每组对象能否构成一个集合：(1)我国的小城市；(2)某校2019年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解．[解析](1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是否是“高个子”无法客观地判断，不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3.∴方程x2－9＝0在实数范围内的解为－3,3，能构成集合．命题方向2⇨元素和集合的关系已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x的值．[思路分析]－3是集合的元素说明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分类讨论求解．典例2[解析]由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.当x－2＝－3时，x＝－1，把x＝－1代入2x2＋5x，得集合的三个元素分别为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性；当2x2＋5x＝－3时，x＝－32或x＝－1(舍去)，当x＝－32时，集合的三个元素分别为－72，－3,12，满足集合中元素的互异性，故x＝－32.『规律方法』解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性．〔跟踪练习2〕已知集合A中仅含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为__________.[解析]∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，实数a的值为0或－1.0或－1命题方向3⇨用列举法表示集合典例3用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y＝x－1与y＝－23x＋43的图象的交点组成的集合．[思路分析](1)(2)可直接求出相应元素，然后用列举法表示；(3)联立y＝x－1y＝－23x＋43→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示．[解析](1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合为{2,4}．(3)方程组x－y＝12x＋3y＝4的解是x＝75y＝25.所求集合为{(75，25)}．『规律方法』1.用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．,〔跟踪练习3〕用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．[解析](1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思．所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．命题方向4⇨用描述法表示集合典例4用描述法表示下列集合：(1)所有不小于2，且不大于20的实数组成的集合；(2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合；(3)使y＝2－xx有意义的实数x组成的集合；(4)200以内的正奇数组成的集合；(5)方程x2－5x－6＝0的解组成的集合．[思路分析]用描述法表示集合时，关键要弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x∈N”等条件．[解析](1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}．(2)第二象限内的点(x，y)满足x0，且y0，故集合可表示为{(x，y)|x0，y0}．(3)要使该式有意义，需有2－x≥0x≠0，解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示为{x|x≤2，且x≠0}．(4){x|x＝2k＋1，x200，k∈N}．(5){x|x2－5x－6＝0.}『规律方法』用描述法表示集合应注意的问题1．写清楚该集合中的代表元素，即弄清代表元素是数、点还是其他对象；2．准确说明集合中元素所满足的特征；3．所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号；4．用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系．〔跟踪练习4〕用描述法表示下列集合：(1)大于4的全体奇数组成的集合；(2)二次函数y＝3x2－1图象上的所有点组成的集合；(3)所有的三角形组成的集合．[解析](1)奇数可表示为2k＋1，k∈Z，又因为大于4，故k≥2，故可用描述法表示为{x|x＝2k＋1，k∈N，且k≥2}．(2)点可用实数对表示，故可表示为{(x，y)|y＝3x2－1}．(3){x|x是三角形}．[错解]由A＝B，得x2＝1xy＝y，或x2＝yxy＝1，解得x＝1y∈R或x＝－1y＝0或x＝1y＝1.忽略集合中元素的互异性设集合A＝{x2，x，xy}、B＝{1，x，y}，若集合A、B所含元素相同，求实数x、y的值．典例5[错因分析]当x＝1，y∈R时，A＝B＝{1,1，y}，不满足集合元素的互异性，当x＝1，y＝1时，A＝B＝{1,1,1}也不满足元素的互异性，当x＝－1，y＝0，A＝B＝{1，－1,0}，满足题意．[正解]由错解得x＝1y∈R或x＝－1y＝0或x＝1y＝1.经检验当取x＝1y∈R与x＝1y＝1时不满足集合中元素的互异性，所以x＝－1，y＝0.[点评]在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就结束了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．解决集合的新定义问题的基本方法集合命题中与运算法则相关的问题已经成为新课标高考