搜索
数学必修①·人教A版新课标导学第一章集合与函数概念1.1集合1.1.2集合间的基本关系1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案根据集合的定义，我们知道集合有无数多个，可以用集合来区分事物．如{四足动物}，{两足动物}，{绿色植物}，{菌类植物}，{植物}，{动物}，{汽车}．但有些集合之间有密切的关系．如{四足动物}与{动物}，前一个集合的元素都是后一个集合的元素，且后一个集合元素的个数比前一个集合元素的个数多很多，这两个集合之间的关系如何用简短的数学语言来表达呢？学完本节内容就明白了！1．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用____________的________表示集合．封闭曲线内部2．子集、真子集、集合相等的相关概念[知识点拨](1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．(4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集．(5)若A⊆B，且A≠B，则AB．3．空集(1)定义：不含________元素的集合叫做空集，记为______.(2)规定：________是任何集合的子集．4．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．(2)对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC．(3)若A⊆B，A≠B，则AB．任何∅空集1．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，则有()A．M＜NB．M∈NC．N⊆MD．MND[解析]∵1∈{1,2,3}，∴{1}{1,2,3}．故选D．2．下列四个集合中，是空集的为()A．{0}B．{x|x8，且x5}C．{x∈N|x2－1＝0}D．{x|x4}[解析]x8，且x5的数x不存在，∴选项B中的集合不含有任何元素，故选B．B3．(2019·河南永城实验中学高一期末测试)设集合A＝{x|x＝n2，n∈Z}，B＝{x|x＝n＋12，n∈Z}，则下列图形能表示集合A与B的关系的是()B[解析]解法一：对于集合A，其组成元素是n2，分子部分表示所有的整数；对于集合B，其组成元素是12＋n＝2n＋12，分子部分表示所有的奇数．由真子集的概念知，BA．解法二：用列举法表示集合如下：A＝{…，－32，－1，－12，0，12，1，32，2，52，…}，B＝{…，－32，－12，12，32，52，…}，所以BA．4．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝_____.[解析]因为B⊆A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，比较A，B中的元素可知m＝4.45．(2019·吉林榆树一中高一期末测试)已知集合A＝{x|x≤a＋5}，B＝{x|x－1或x6}，若A⊆B，求a的取值范围．[解析]∵A⊆B，∴将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示．由图可知，a＋5－1，∴a－6.互动探究学案命题方向1⇨集合间关系的判定指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1x4}，B＝{x|x－50}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[思路分析]先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系．典例1[解析](1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB．(3)集合B＝{x|x5}，用数轴表示集合A，B，如下图所示，由图可知AB．(4)解法一：两个集合的元素都是正奇数，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.解法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.『规律方法』判断两个集合A，B之间是否存在包含关系有以下几个步骤：第一步：明确集合A，B中元素的特征．第二步：分析集合A，B中元素之间的关系．(1)当集合A中的元素都属于集合B时，有A⊆B．(2)当集合A中的元素都属于集合B，但集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有AB．(3)当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素都属于集合A时，有A＝B．(4)当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少也有一个元素不属于集合A时，有AB，且BA，即集合A，B互不包含．〔跟踪练习1〕判断下列各组集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}；(3)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}．[解析](1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB．(2)因为A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}＝∅，所以BA．(3)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而CABD．命题方向2⇨确定集合的子集、真子集设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．典例2[思路分析]用列举法表示集合A→根据子集中所含元素的个数写出子集→从子集中除去集合A本身即得真子集[解析]由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，则方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}，由0个元素构成的子集为：∅.由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}．由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}．因此集合A的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．『规律方法』(1)若集合A中有n(n∈N＋)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－1)个非空子集，有(2n－2)个非空真子集．(2)写出一个集合的所有子集时，首先要注意两个特殊的子集：∅和自身．其次，依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集……一一写出，保证不重不漏．〔跟踪练习2〕满足{a，b}⊆A{a，b，c，d，e}的集合A的个数是()A．2B．6C．7D．8[解析]由题意知，集合A可以为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}．C命题方向3⇨由集合间的关系求参数的值和范围(1)已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝_____；(2)已知集合A＝{x|x－1，或x4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[思路分析](1)根据子集的定义建立等量关系，注意分类讨论思想的运用；(2)对集合B是否为空集进行讨论，列出有关不等式(组)，进而求出a的取值范围．1典例3[解析](1)因为B⊆A，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1.当m＝1时，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}，满足B⊆A，故m＝1.(2)当B＝∅时，只需2aa＋3，即a3；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得a＋3≥2aa＋3－1或a＋3≥2a2a4，解得a－4或2a≤3.综上可得，实数a的取值范围为a－4或a2.『规律方法』(1)弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；(2)看集合中是否含有参数，若含参数，应考虑参数使该集合为空集的情形；(3)将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围．〔跟踪练习3〕已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．(1)若B⊆A，则a的取值范围是_________；(2)若A⊆B，则a的取值范围是_________；(3)若AB，则a的取值范围是_________；(4)若A＝B，则a的值是_____.a≤3a≥3a33[解析](1)若B⊆A应满足a≤3.(2)若A⊆B应满足a≥3.(3)AB应满足a3.(4)若A＝B则a＝3.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．典例4[错解]由题意并结合数轴(如下图)，得m＋1≤2m－1m＋1≥－22m－1≤5，解得2≤m≤3.[错因分析]错解中忽略了B＝∅时的情形．[正解]①当B＝∅时，∅⊆A，符合题意，此时m＋12m－1，解得m2.②当B≠∅时，由题意结合数轴(如下图)．得m＋1≤2m－1m＋1≥－22m－1≤5，解得2≤m≤3.综合上可知m的取值范围是m≤3.『规律方法』空集是一种特殊的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，当B⊆A时，B为空集的情况容易被忽略，因此，当条件不明确时，要注意分情况讨论，本题中若不考虑B为空集的情况，将会丢掉m2这一部分解．分类讨论思想的应用分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．[思路分析]根据集合相等的定义和集合元素的互异性求解．由于A＝B，元素a在两个集合中都有，故其余两个元素的情况需分类讨论．典例5[解析]①若a＋b＝aca＋2b＝ac2，消去b得a＋ac2－2ac＝0，即a(c2－2c＋1)＝0，当a＝0时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，故a≠0，c2－2c＋1＝0，即c＝1.当c＝1时，集合B中的三个元素也相同，∴c＝1舍去，即此时无解．②若a＋b＝ac2a＋2b＝ac，消去b得2ac2－ac－a＝0，即a(2c2－c－1)＝0，∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0.又∵c≠1，∴c＝－12.当c＝－12时，a＋b＝14aa＋2b＝－12a，∴b＝－34a，∴A＝{a，14a，－12a}，B＝{a，14a，－12a}，∴A＝B．综上可知c＝－12.『规律方法』1.两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等．1．已知集合A＝{x|x2＝4}，①2⊆A；②{－2}∈A；③∅⊆A；④{－2,2}＝A；⑤－2∈A．则上列式子表示正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]∵集合A＝{－2,2}，故③④⑤正确．C2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则()A．b＝－3，c＝2B．b＝3，c＝－2C．b＝－2，c＝3D．b＝2，c＝－3A[解析]由题意可知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两个实根，∴1＋2＝－b1×2＝c，∴b＝－3c＝2.3．(2019·吉林榆树一中高一期末测试)已知集合A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,8}，C＝{1,3,8,9}，则集合A可以是()A．{1,8}B．{2,3}C．{0}D．{9}[解析]∵A⊆B，A⊆C，∴集合A中的元素既是集合B的元素又是集合C的元素，∴集合A可以是集合{1,8}，故选A．A4．满足{1}A{1,2,3}的集合A是____________