分式培优讲义

讲义———分式姓名：分式知识点一：分式的定义一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子BA叫做分式，A为分子，B为分母。知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（B≠0）②分式无意义：分母为0（0）③分式值为0：分子为0且分母不为0（0且B≠0）④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）⑥分式值为1：分子分母值相等（）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。知识点五：分式的通分分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤：Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。知识点六：分式的四则运算与分式的乘方分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。知识点七：整数指数幂引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即★★★★（）★★（）★（）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）m，n均为整数。科学记数法若一个数x是0x1的数，则可以表示为na-10（101＜a，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定：从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。如0.000000125=71025.1若一个数x是x10的数则可以表示为na10（101＜a，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定：比整数部分的数位的个数少1。如120000000=8102.1知识点七分式方程的解的步骤⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）⑵解整式方程，得到整式方程的解。⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。知识点八：列分式方程基本步骤审：仔细审题，找出等量关系。设：合理设未知数。列：根据等量关系列出方程（组）。解：解出方程（组）。注意检验验：检验并答题。计算专练1、化简211()1122xxxx，然后从2,1,1中选取一个你认为合适．．的数作为x的值代入求值．化简求值：212)14(aaaaa，其中31a．化简：yxyyxyxyxyxyx29632222．42232)()()(abcabccbayyxx1)2(12232222)()()(xyxyxyxyyx22333)]34()2[(baabxxx1111112；)9(2316212xxxx；xxxxxxx4126)3(446222231421222aaaaaaaaa)()(632cabca222)2(444122xxxxxxxxx22221111aaaaaaa)11(2)2(yxyxxyyxyyxx222)11(11aaaaaaa112aaa22428aaa÷（a2-4）·2442aaa22416842aaaaaxxxxxx11132bab22xyyxyxyxyyx2232323194322xxxxx(1－13x)÷222xx33223baba1203122005231232()()xyxy10321212114.321201(1)5(2004)201311(2)2232302120143221321xxx22121xxx222xxxx12536xx1412112xxx512552xxx311(1)(2)xxxx分式典型题1、代数式11,,0,2,4,1222xxbabaayxx中，是整式的有，是分式的有.2、若1)2)(1(2xxx,则当时，M有意义；当时，0；当时，4.3、当时，分式xx52的值为正数.4、在正数范围内定义一种运算*，其规则为a*ba11，则x*(1).5、不论x取何值时，下列分式总有意义的是（）A.21xxB.22)2(xxC.2xxD.22xx6、若x2－9=0,则分式3652xxx的值为（）A.1B.－5C.1或－5D.57、若分式mmm21||的值为零，则m取值为()±1－11的值不存在8、每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为()A.yxmynx元B.yxmymx元C.yxnm元D.21(nymx)元9、如果把分式yxx23中的x、y的值都扩大2倍，那么分式的值（）A.扩大2倍B.扩大6倍C.扩大3倍D.不变10、甲、乙两人加工某种机器零件，已知甲每天比乙多做a个，甲做m个所用的天数与乙做n个所用的天数相等（其中m≠n），设甲每天做x个零件，则甲、乙两人每天所做零件的个数分别是（）A.nmam、nmanB.nman、nmamC.nmam、nmanD.mnam、mnan11、下列各式中，是分式的是()A.2xB.31x2C.312xxD.21x12、当a为任何实数时，下列分式中一定有意义的一个是()A.21aaB.11aC.112aaD.112aa13、当时，关于x的方程323xmxx有增根；若关于x的方程=无解，则14、已知(0)234xyzx，求分式233233xyzxyz的值。15、已知311yx，求yxyxyxyx55的值.16、若方程122xax的解是正数，求a的取值范围.已知关于x的分式方程=1的解是非正数，求a的取值范围.17、已知a2+31=0,求（1）a1;（2）a2+21a;（3）a4+41a18、已知a、b、c均不为0，且a+2b32537bcca,求223cbba的值。19、已知210253aab，求代数式4322222322baababbababbab的值20、若0,0xyzxyz，求xyzyzzxxy的值。21、已知115(),abab求()()abbabaab的值22、化简：43223323322232aabababaabababababb23、计算：（巧算）12212112xxxx23541243xxxxxxxx1111(1)(1)(2)(2013)(2014)xxxxxxx…－24、已知x为正整数，且222218339xxxx也为正整数，求所有符合条件的x的值。分式培优题一、填空1、若a、b满足baab2，则的值是。2、当时，3xx与xx3互为倒数．；．3、如果，则4、当时，分式233422mmmm的值为零.5、已知a1b14，则abbababa722=。6、若a∶b∶1∶3∶5，则acba=，2222acba=。7、已知：bba2=35，则ba=．8、已知，则=。9、如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为，…，依此类推,由正边形“扩展”而来的多边形的边数记为（n≥3）.则的值是,当的结果是时，n的值.10、先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．(1)计算．（2）探究．（用含有的式子表示）（3）若的值为，求的值．二、选择题11、如果m个人完成一项工作需要d天，则（）个人完成这项工作需要的天数为（）A．B．C．nmmdD．nmd12、若x13,求1242xxx的值是（）．A．81B．101C．21D．4113、如果ba=2，则2222bababa＝()A．54B．1C．53D．214、如果满足，那么2a21a的值是()A．154B．4C．174D．1415、已知分式91862aa的值是正整数，求整数a的值。16、已知：的值．17、已知0543cba，求分式cbacba323的值。18、已知31xx，求分式221xx的值，能求出331xx，441xx的值吗？19、已知ozyxzyx82,043，求xzyzxyzyx2222的值。20、已知互不相等），cbaaczcbybax,,(，求zyx的值。21、已知51,41,31,,caaccbbcbaabcba为实数，且，的值是多少？cabcababc22、（1）请你任意写出3个正的真分数：_，_，_，给每个分数的分子、分母同加一个相同正数得到三个新分数：_，_，_，（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是ba（，均为正数），给其分子分母同加一个正数，得mbma，则两个分数的大小关系是mbmaba．并证明你的结论分式方程培优题1、若关于x的方程111mxxx=0有增根，则m的值是（）A．3B．2C．1D．-12、已知方程3233xxx有增根，则这个增根一定是（）A．2B．3C．4D．53、若321||2xxx的值为零，则x的值是()A.±1B.11D.不存在4、分式13xax中，当时，下列结论正确的是()A.分式的值为零B.分式无意义C.若a≠﹣31时,分式的值为零D.若a≠31时,分式的值为零5、关于x的方程1-xmx2=1的解是正