分类讨论常见题型-初一

学而思网校分类讨论思想在初一的应用在数学学习中，我们不仅要分阶段学习知识，还要适时的总结一下数学思想方法。初中常见的数学思想有：分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。特别就中考而言，经常出现带有这种思想的考题。几乎可以这么说：“分类讨论一旦出现，就是中高档次题”。今天，我们就带着大家把这一年常见的分类讨论问题大致整理一下。在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。1.什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定，比如见到“直线”、“射线”、“距离”、“面积”“倍数”时；代数中，出现字母、未知数前的系数、绝对值、乘方等)。2.分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”。3.分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。希望大家在学习初期反复关注这三个注意事项。有理数类：例1解方程：|x-1|=2解：x-1=2或x-1=-2则x=3或x=-1例2化简：如当a0b时，化简|a-1|+|b+1|+|a-b|答案：2+2b-2a练习：|a|+a的值一定是()A.大于零B.小于零C.不大于零D.不小于零分析：大家会常见这种类型的问题，它的关键是去绝对值符号再化简。常规的处理方法是，分为三种情况“a为正数或零或负数”，再化简。解：当a0时，原式=a+a=2a0当a=0时，原式=0+0=0学而思网校时，原式=(-a)+a=0所以选择D例3.数轴：已知线段AB长度为6cm，点C在直线AB上，且AC=2cm，求BC的长度。分析：注意点C的位置不能确定。在直线上，与一个定点的距离为定值的点有两个。处理方法：画一个示意图，往往能帮助理解。解：如示意图，有两种情况。如图1，点C在AB之间时，BC=AB-AC=6cm-2cm=4cm如图2，点C在BA的延长线上时，BC=AB+AC=6cm+2cm=8cm整式类：例1.试比较1+a与1-a的大小。分析：常规的比较大小的方法有很多种，现阶段最常用的是作差法。两个数量的大小可以通过它们的差来判断：ab即a-b0a=b即a-b=0ab即a-b0解：(1+a)-(1-a)=2a分类讨论：当a0时，2a0，即(1+a)-(1-a)0即1+a＞1-a当a=0时，2a=0，即(1+a)-(1-a)=0即1+a=1-a当a0时，2a0，即(1+a)-(1-a)0即1+a1-a练习比较a2-a+4与a2+3的大小解：(a2-a+4)-(a2+3)=-a+1分类讨论当-a+10，即a1时，(a2-a+4)-(a2+3)0a2-a+4a2+3当-a+1=0时，即a=1时(a2-a+4)-(a2+3)=0a2-a+4=a2+3当-a+10时，即a1时(a2-a+4)-(a2+3)0a2-a+4a2+3答：当a1时，a2-a+4a2+3学而思网校=1时，a2-a+4=a2+3当a1时，a2-a+4a2+3例2.解关于x的不等式：axb分析：这个不等式和以前最大的差别在于出现字母系数。但是，不管题目如何改变，终究是按照解不等式的方法解决。不妨想一下，3x1，2x1，x1，0x1，-x1，-2x1都是如何解决的。解：(1)当a0时，(2)当a=0时，0·xb若b≥0，则方程无解若b0，则方程的解为全体实数(3)当a0时，练习解关于x的不等式：2x+1≥m(x-1)分析：仍然按照解不等式的一般步骤：去括号、移项、合并、系数化为1等。注意：关于x的不等式解：2x+1≥mx-mmx-2x≤m+1(m-2)x≤m+1讨论：(1)当m-20，即m2时(2)当m-2=0，即m=2时，0·x≤3，方程的解为全体实数(3)当m-20，即m2时，例3.若a、b在互为倒数，b、c互为相反数，m的绝对值为1，则2()abbcmmm的值是______.答案：0或-2应用题类例1.甲、乙两人分别从相距30km的A、B两地同时相向而行，经过3h后相距3km，再经过2h，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度。解：（1）当3h后甲、乙两人未相遇时，设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，则)530(253033033yxyx，学而思网校解得54yx，∴甲的速度为4Km/h，乙的速度为5Km/h。（2）当3h后甲、乙两人已相遇时，设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，则)530(253033033yxyx，解得317316yx，∴甲的速度为16/3Km/h，乙的速度为17/3Km/h。答：甲的速度为4Km/h，乙的速度为5Km/h或甲的速度为16/3Km/h，乙的速度为17/3Km/h。.例2三人分糖，每人都得整数块，乙比丙多得13块，甲所得的糖果数是乙的2倍，已知糖果总数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11，试求甲、乙、丙各分得几块糖？分析：1.两个限制条件：整数、质数2.一个常见说法：乙比丙多得13块，甲所得的糖果数是乙的2倍3.一个常见不等式列法：糖果总数是小于50解：设丙获得了x块粮果，则乙的糖果数为(x+13)块，甲的糖果数为2(x+13)，根据题意，可列不等式2(x+13)+(x+13)+x50整理这个不等式，解得x11/4由于糖果块数必为正整数，所以x=1或2当x=1时，x+13=14，2(x+13)=28总块数1+14+28=43，为质数但4+3=7≠11，则x=1应舍去；当x=2时，x+13=15，2(x+13)=30总块数2+15+30=47，为质数4+7=11，合题意。答：甲分得糖果数为30块，乙分得15块，丙分得2块。常用技巧学而思网校设未知数，将每种情况用代数式表述出来2.利用常见等量关系列方程或不等式；需要分类讨论时，可采用作差法比大小。几何基础类例1已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为_3：2_或3：4。练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.解析：(1)点C在线段AB上：(2)点C在线段AB的延长线上答案：2或5例2．一条绳子对折后成右图A、B,A、B上一点C，且有BC=2AC,将其从C点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为：60cm或120cm例3．在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。（20°或50°）练习.已知oAOB60,过O作一条射线OC，射线OE平分AOC，射线OD平分BOC，求DOE的大小。（1）射线OC在AOB内（2）射线OC在AOB外这两种情况下，都有ooAOB60DOE=3022小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然AOC的大小不确定，但是所求的DOE与AOC的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。NMABCNMABCCNMAOBCNMAOBBAOCEDBAEDOCABC1C2