《函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质(1)》

函数y=Asin(ωx＋)的图像与性质（一）在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y＝Asin(ωx+)的函数(其中A，ω，是常数)，例如：在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如y＝Asin(ωx+)的函数.这个函数有什么性质？它与y=sinx有什么关系？ysinxyAsin(x)A110.显然，函数是函数的特殊情况，其中，，ysinxyAsin(x).yAsin(xA.下面我们利用函数的性质和图像来研究函数的性质和图像分析在函数）中，参数，，对函数及其图像的影响五点法实质.2,23,,2,0x解:（1）列表.例1作函数和的简图，并说明它们与函数y=sinx的关系.1sin2yx=2sinyx=2322xy=2sinx1y=sinx2y=sinx10001-002120002-12-00探究点1振幅A对三角函数图像的影响（2）画图yO1ysinx2x从函数图像和解析式可以看到，对于同一个x值，y=2sinx的函数值是y=sinx的函数值的2倍，反映在图像上，是y=sinx图像上每个点的横坐标不变，而纵坐标伸长为原来的2倍，就得到y=2sinx的图像.类似地，对于同一个x值，y=sinx的函数值是y=sinx的函数值的，反映在图像上，是y=sinx图像上每个点的横坐标不变，而纵坐标缩短为原来的，就得到y=sinx的图像.12121212（3）确定周期1231231fxsinx,fx2sinx,fxsinx,fx2fxfx，，令从到函数的周期是否发生了变化？2.0,2y2sinx,1ysinxR.2，、根据诱导公式和周期函数的定义，不难看出这三个函数的周期没有变化，都是利用周期性把上的简图向左右延拓就可以得到函数在上的图像（4）讨论性质.30,2y2sinx0,,2223,22上，在；从图像上可看出，在区间函数和上是增加的，在上是减少的y2sinxx0,2;y2sinx2,222.，，，函数与轴交点的横坐标是函数最大值是最小值是的值域是130,2ysinx0,,22223,22；类似地，在区间上，函数在和上是增加的，在上是减少的1ysinxx0,2;211111ysinx,.22222，，，函数与轴交点的横坐标是的值域是最大值是最小值是数函由上例可以看出：在函数y＝Asinx（A＞0）中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.函数y=Asinx(A0且A≠1)的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的纵坐标变化为原来的A倍(横坐标不变)而得到的.提升总结：参数A对函数y=Asin(x+)的影响描述下列曲线,可以由正弦曲线如何变换得到3sinsin232(1)函数的图像可以看作是将的图像上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）而得到的.yxyx1sinsin313(2)函数的图像可以看作是将的图像上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）而得到的.yxyx31(1)sin.(2)sin.23yxyx变式练习：2ysinxysin(x)46ysinx.例画出函数（）和的简图，并说明它们与函数的关系解:(1)列表采用类比法探究点2参数对函数y=Asin(x+)的影响yxO21164πysin(x)4（2）画图ysin(x)6ysinx4ysinxysinx46ysinx6的（）的（）从函数图像和解析式可以看出，把函数图像向左平移个单位长度就可以得到函数的图像；把函数图像向右平移个单位长度就可以得到函数的图像.（3）确定周期1212fxsinx,fxsinx,ysinxfx46fx（）（），，令从到函数的周期是否发生了变化？2.ysin(x),ysin(x)R.46、根据诱导公式和周期函数的定义，不难看出这三个函数的周期没有变化，都是利用周期性，把简图向左右延拓就可以得到函数在上的图像（4）讨论性质7,ysin(x)444575,,,444444从图区间上，函数在和上是增加的，在上是减少的；像上可看出，在37ysin(x)x,,;4444ysin(x)1,111.4，，函数与轴交点的横坐标是函数的值域是最大值是最小值是13,ysin(x)666251325,,,633633类似地，在区间上，函数在和上是增加的，在上是减少的；713ysin(x)x,,;6666ysin(x)1,111.6，，函数与轴交点的横坐标是函数的值域是最大值是最小值是函数y=sin(x+)的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有的点向左(当0时)或向右(当0时)平移||个单位长度而得到的.在函数y=sin(x+φ)中，φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，x+φ为相位.提升总结：参数对函数y=Asin(x+)的影响描述下列曲线可以由正弦曲线如何变换得到(1)sin().(2)sin().63yxyx长度π(1)函数y=sin（x+)的图像可以看作是将y=sinx的图像上所6π有点向左平解：移个单位而得到的.6长度π(2)y=sin（x-)y=sinx3π.3函数的图像可以看作是将的图像上所有点向右平移个单位而得到的变式练习：①列表：xx2ysin2x424302322100010例3画出函数及的简图，并说明它们与函数y=sinx的图像的关系.1sin2yx=sin2yx=sin2xy：（1）对于函数解：采用类比法探究点3参数对函数y=Asin(x+)的影响xOy212213②描点作图：y=sin2xy=sinx1sin2yx：（2）对于函数①列表：x0π2π3π4π0π2π010-101x22321ysinx2xyO21134②描点作图：y=sinx12y=sinx（3）确定周期121fxsin2x,fxsinx.2令1122fxsin2xsin(2x2)sin2xfx;111fx4sinx4sin(x2)sinxfx.222根据诱导公式和周期函数的定义，不难看出ysin2xysin2x.ysin2x1ysin2xR.4ysinx2114ysinx.ysinx221ysinxR.2所以，是函数的周期，实际上，是函数的最小正周期由函数的简图向左、右延拓就可以得到函数在上的图像是函数的周期，实际上，是函数的最小正周期由函数的简图向左、右延拓就可以得到函数在上的图像（4）讨论性质0,ysin2x330,,,4444从图像上可看出，在区间上，函数在和上是增加的，在上是减少的；ysin2xx0,,;2ysin2x1,111.函数与轴交点的横坐标是函数的值域是，最大值是，最小值是10,4ysinx20,3,4,3类似地，在区间上，函数在和上是增加的，在上是减少的；1ysinxx0,2,4;21ysinx1,111.2函数与轴交点的横坐标是函数的值域是，最大值是，最小值是函数y=sinx(0且≠1)的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的横坐标变化为原来的倍(纵坐标不变)而得到的.11f.T2通常称周期的倒数为频率提升总结：参数对函数y=Asin(x+)的影响描述下列曲线可以由正弦曲线如何变换得到1(1)sin4.(2)sin.3yxyx解(1)函数y=sin4x的图像可以看作是将y=sinx的图像上所有点1的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）而得到的.4：1(2)函数y=sinx的图像可以看作是将y=sinx的图像上所有点3的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变）而得到的.变式练习：1.2ysin(x)43A.ysin(x)B.ysin(x)42C.ysin(x).ysin(x)444若将某函数的图向右平移以后所得到的图的函数式是，则原来的函数表达式为（）像像　　　　　　　　ＤＡ2.y3sin(2x)ysinx3()A.,.,..,像像函数的图可由的图经过下述哪种变换而得到１向右平移个单位，横坐标缩小到原来的纵坐标扩大到原来的３倍３２１Ｂ向左平移个单位，横坐标缩小到原来的纵坐标扩大到原来的３倍３２１Ｃ向右平移个单位，横坐标扩大到原来的２倍，纵坐标缩小到原来的６３１１Ｄ向左平移个单位，横坐标缩小到原来的纵坐标缩小到原来的６２３Ｂ.sin(),94,-,9.2sin(3-).2sin(3)66.2sin().2sin(-363yxxxyxyxxxyyC３已知函数Ａ在同一周期内，当时函数取得最大值２当时函数取得最小值２则该函数的解析式为（　　）Ａ　　　　Ｂ　　　　Ｄ）６Ｂ4.要得到函数y=cos(2x+1)的图像，只要将函数y=cos2x的图像()A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向左平移0.5个单位D.向右平移0.5个单位C参数A(A0),ω(ω0),φ对函数y=Asin(ωx+φ)图像的影响(1)将函数y=sinx的图像上所有点向左(φ0)或向右(φ0)平移｜φ｜个单位长度得到y=sin(x+φ)的图像.(2)将函数y=sin(x+φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω1时)或伸长(当0ω1时)到原来的倍(纵坐标不变)得到函数y=sin(ωx+φ)的图像.1(3)将函数y=sin(ωx+φ)的图像上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的A倍(横坐标不变)得到函数y=Asin(ωx+φ)的图像.把一页书好好地消化，胜过匆匆地阅读一本书.——麦考莱