1第1讲认识三角形考点·方法·破译1.了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线),会画出任意三角形的高、中线、角平分线.2.知道三角形两边的和大于第三边,两边之差小于第三边.3.了解与三角形有关的角(内角、外角).4.掌握三角形三内角和等于180°,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.5.会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6.会从复杂的图形中找到基本图形,从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析【例1】若的三边分别为4,x,9,则x的取值范围是______________,周长l的取值范围是______________;当周长为奇数时,x=______________.【解法指导】运用三角形三边关系,即第三边小于两边之和而大于两边之差故5<x<13,18<l<26;周长为19时,x=6,周长为21时,x=8,周长为23时,x=10,周长为25时,x=12,【变式题组】01.若△ABC的三边分别为4,x,9,且9为最长边,则x的取值范围是_________,周长l的取值范围是__________.02.设△ABC三边为a,b,c的长度均为正整数,且a<b<c,a+b+c=13,则以a,b,c为边的三角形,共有______________个.03.用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形(不许折断)并全部用完,能摆出不同形状的三角形个数是().A.1B.2C.3D.4【例2】已知等腰三角形的一边长为18cm,周长为58cm,试求三角形三边的长.【解法指导】对等腰三角形,题目没有交代底边和腰,要给予讨论.当18cm为腰时,底边为58-18×2=22,则三边为18,18,22.当18cm为底边时,腰为58182=20,则三边为20,20,18.此两种情况都符合两边之和大于第三边.解:18cm,18cm,22cm或18cm,20,20cm.【变式题组】01.已知等腰三角形两边长分别为6cm,12cm,则这个三角形的周长是()A.24cmB.30cmC.24cm或30cmD.18cm02.已知三角形的两边长分别是4cm和9cm,则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是()A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm03.等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分,则此等腰三角形的腰长为________.【例3】如图AD是△ABC的中线,DE是△ADC的中线,EF是△DEC的中线,FG是△EFC的中线,若S△GFC=1cm2,则S△ABC=______________.【解法指导】中线将原三角形面积一分为二,由FG为△EFC的中线,知S△EFC=2S△GFC=2.又由EF为△DEC中线,S△DEC=2S△EFC=4.同理S△ADC=8,S△ABC=16.【变式题组】01.如图,已知点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点,S△ABC=4,则S△EFC=______________.(第1题图)FEDBAC02.如图,点D是等腰△ABC底边BC上任意一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若一腰上的高为4cm,则DE+DF=______________.(第2题图)FEBCAD(第3题图)FDBCAEGFEDBAC203.如图,已知四边形ABCD是矩形(AD>AB),点E在BC上,且AE=AD,DF⊥AE于F,则DF与AB的数量关系是______________.【例4】已知,如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_______.【解法指导】这是本章的一个基本图形,其基本方法为构造三角形或四边形内角和,结合八字形角的关系即,∠A+∠B=∠C+∠D.故连结BC有∠A+∠D=∠DBC+∠ACB,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°【变式题组】01.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______________.02.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______________.03.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____________.【例5】如图,已知∠A=70°,BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB.则∠BOC=______________.【解法指导】这是本章另一个基本图形,其结论为∠BOC=12∠A+90°.证法如下:∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12∠ABC-12∠ACB=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A.所以∠BOC=125°.【变式题组】01.如图,∠A=70°,∠B=40°,∠C=20°,则∠BOC=______________.(第1题图)OBAC02.点P、O分别是∠ABC、∠ACB的三等分线的交点,则∠OPC=_________.03.如图,∠O=140°,∠P=100°,BP、CP分别平分∠ABO、∠ACO,则∠A=______________.【例6】如图,已知∠B=35°,∠C=47°,AD⊥BC,AE平分∠BAC,则∠EAD=______________.【解法指导】∵∠EAD=90°-∠AED=90°-(∠B+∠BAE)=90°-∠B-12(180°-∠B-∠C)=90°-∠B-90°+12∠B+12∠C=12(∠C-∠B),故∠EAD=6°.【变式题组】01.(改)如图,已知∠B=39°,∠C=61°,BD⊥AC,AE平分∠BAC,则∠BFE=__________.(说明:原题题、图不符.由已知得∠A=98°,BD⊥AC,则点D在CA的延长线上.)02.如图,在△ABC中,∠ACB=40°,AD平分∠BAC,∠ACB的外角平分线交AD的延长线于点P,点F是BC上一动点(F、D不重合),过点F作EF⊥BC交于点E,下列结论:①∠P+∠DEF为定值,②∠P-∠DEF为定值中,有且只有一个答案正确,请你作出判断,并说明理由.(第2题图)ABFEDC(第1题图)ABEDC(第2题图)POBAC(第3题图)POBAC(例6题图)EDABC(第2题图)DEPCAGBF(第1题图)FEDABC(例4题图)BDACEABCD(第3题图)ABCDEFOBAC3【例7】如图,在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′,使CC′∥AB,若∠BAC=70°,则旋转角α=______________.【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC′∥AB,∴∠C′CA=∠CAB=70°,又AC=AC′,∴∠C′AC=180°-2×70°=40°【变式题组】01如图,用等腰直角三角形板画∠AOB=45°,并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线后绕点M逆时针方向旋转22°,则三角板的斜边与射线OA的直角α=______________.(第1题图)α22°OBMA02.如图,在平面内将△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到△OA′B′,若点A′在AB上时,则旋转角α=___________.(∠AOB=90°,∠B=30°)03.如图,△ABE和△ACD是△ABC沿着AB边,AC边翻折180°形成的,若∠BAC=130°,则∠α=________.演练巩固·反馈提高01.如图,图中三角形的个数为()A.5个B.6个C.7个D.8个02.如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定03.有4条线段,长度分别是4cm,8cm,10cm,12cm,选其中三条组成三角形,可以组成三角形的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个04.下列语句中,正确的是()A.三角形的一个外角大于任何一个内角B.三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C.三角形的外角中,至少有两个钝角D.三角形的外角中,至少有一个钝角05.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定06.若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角,则这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定07.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是9cm,则这个三角形的周长是______________.08.三角形三条边长是三个连续的自然数,且三角形的周长不大于18,则这个三角形的三条边长分别是________.09.如图,在△ABC中,∠A=42°,∠B与∠C的三等分线,分别交于点D、E,则∠BDC的度数是______________.(第9题图)DEBAC10.如图,光线l照射到平面镜上,然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射,已知∠α=55,∠γ=75°,∠β=______________.11.如图,点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点,且S△EFC=1,则S△ABC=__________.12.如图,已知:∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,则∠DAC=____________.13.如图,已知点D、E是BC上的点,且BE=AB,CD=CA,∠DAE=13∠BAC,求∠BAC的度数C'B'ABC(第2题图)B'A'AOB(第3题图)αEDCBAγβα(第10题图)ⅡⅠ(第11题图)FEDABCEDABCFG(第13题图)DEABC4321(第12题图)DBAC4培优升级·奥赛检测01.在△ABC中,2∠A=3∠B,且∠C-30°=∠A+∠B,则△ABC是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.有一个角是30°的直角三角形D.等腰直角三角形02.已知三角形的三边a、b、c的长都是整数,且a≤b≤c,如果b=7,则这样的三角形共有()A.21个B.28个C.49个D.54个03.在△ABC中,∠A=50°,高BE、CF交于O点,则∠BOC=______________.04.在等腰△ABC中,一腰上的高与另一腰的夹角为26°,则底角的度数为______.05.如图,BP平分∠ABC交CD于点F,DP平分∠ADC交AB于点E,若∠A=40°,∠C=38°,则∠P=______________.06.周长为30,且各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个?07.设△ABC三边a、b、c的长度均为自然数,且周长不大于30,并满足(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=26,问满足条件的三角形有多少个?(注:全等三角形只算一个)08.在一次数学小组活动后,小明清理课桌上的三角形模型,经清点,共有11个钝角,15个直角,100个锐角,于是他把这些数据写在“数学园地”上征答:“共有多少个锐角三角形?”你能回答这个问题吗?09.现有长为150cm的铁丝,要截成n(n>2)小段,每段的长为不小于1cm的整数,如果其中任意3小段都不能拼成三角形,试求n的最大值,此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段?10.如图,在△BCD中,BE平分∠DBC交CD于F,延长BC至G,CE平分∠DCG,且EC、DB的延长线交于A点,若∠A=30°,∠DFE=75°.(1)求证:∠DFE=∠A+∠D+∠E;(2)求∠E的度数;(3)若在上图中∠CBE与∠GCE的平分线交于E1,∠CBE1与∠GCE1的平分线交于E2,作∠CBE2与∠GCE2的平分线E3,依次类推,∠CBEn与∠GCEn的平分线交于En+1,请用含有n的式子表示∠En+1的度数.11.如图,已知OABC是一个长方形,其中顶点A、B的坐标分别为(0,a)和(9,a).点E在AB上,且AE=13AB.点F在OC上,且OF=13OC,点G在OA上,且使△GEC的面积为16,试求α的值.12.如图,已知四边形ABCD中,∠A+∠DCB=180°,两组对边延长后分别交于P、Q两点,∠P、∠Q的平分线交于M,求证PM⊥QM.GFEPABCDFEGBDCAxyEBGFOCAMQPABCD5第2讲认识多边形考点·方法·破译1.了解多边形的有关概念,探索并了解多边形内角和和外角和公式.2.通过探索平面图形的镶嵌,知道任意一个三角形、四边形、或正六边形可以镶嵌平面,并能进行镶嵌设计.经典·考题·赏析【例1】如图所示是一个六边形.(1)从顶点A出发画这个多边形的所