三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性

考点56三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性1.（13大纲T12）已知函数=cossin2fxxx，下列结论中错误的是（）A.yfx的图象关于π,0中心对称B.yfx的图象关于直线π2x对称C.fx的最大值为32D.fx既奇函数，又是周期函数【测量目标】三角函数的周期性、最值，对称性.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】A项，因为(2π)cos(2π)sin(4π2)cos()sin(2)cossin2()fxxxxxxxfx()fx的图象关于点(,0)中心对称，故正确.（步骤1）B项，因为(π)cos(π)sin(2π2)cossin2(),fxxxxxfx所以()yfx的图象关于直线2x对称，故正确，(步骤2)C项，由题意知22=2cossin21sinsinfxxxxx.令sintx，1,1t，则232122gttttt.（步骤3）令2260gtt，得3=3t.当1t时，函数值为0；当33t时，函数值为439；当33t时，函数值为439.∴maxgt439，即fx的最大值为439.故选C.（步骤4）D项，由()cos()sin(2)cossin2()fxxxxxfx知其为奇函数，综合选项A、B知()fx为周期函数，故正确.(步骤5)2.（13辽宁T17）设向量π3sin,sin,cos,sin,0,.2xxxxxab（I）若ab求x的值；（Ⅱ）设函数fxab，求()fx的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值.【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）2222222(3sin)sin4sin,cossin1,xxxxxab,ab24sin1.x（步骤1）又x∈π0,2，1sin,2xπ6x.（步骤2）（Ⅱ）()3sinfxxab2311π1cossinsin2cos2sin(2),22262xxxxx当π3x∈π0,2时，πsin(2)6x取最大值1.（步骤3）()fx的最大值为32.（步骤4）3.(13天津T15)已知函数2π()2sin26sincos2co,s41fxxxxxxR.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间π0,2上的最大值和最小值.【测量目标】三角函数的周期性和最值.【难易程度】容易【试题解析】(I)ππ2sin2cos2cos2sin3sin2cos244fxxxxxπ2sin22cos222sin24xxx，故fx的最小正周期2ππ2T；（步骤1）(II)因为fx在区间3π0,8上单调递增，在区间3ππ,82上单调递减，并且02f，3π228f，π22f，故fx在π0,2上的最大值为22，最小值为2.（步骤2）4．（13上海T21）已知函数()2sin()fxx，其中常数0；（1）若()yfx在π2π[,]43上单调递增，求的取值范围；（2）令2，将函数()yfx的图像向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()ygx的图像，区间[,]ab（,abR且ab）满足：()ygx在[,]ab上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]ab中，求ba的最小值．【测量目标】三角函数的单调性，周期，图像及其变化.【难易程度】中等【试题解析】(1)因为0，根据题意有ππ34202ππ432…„„（步骤1）(2)()2sin(2)fxx，ππ()2sin(2())12sin(2)163gxxxπ1π()0sin(2)π324gxxxk或5π+π,12xkkZ，即()gx的零点相离间隔依次为π3和2π3，（步骤2）故若()ygx在[,]ab上至少含有30个零点，则ba的最小值2ππ43π1415333．（步骤3）5.（13新课标ⅠT15）设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝__________.【测量目标】三角恒等变换，利用三角函数求最值.【难易程度】较难【参考答案】255【试题解析】f(x)＝sinx－2cosx＝125sincos55xx，（步骤1）令cosα＝15，sinα＝25，则f(x)＝5sin(α＋x)，（步骤2）当x＝2kπ＋π2－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值5，（步骤3）即θ＝2kπ＋π2－α(k∈Z)，所以cosθ＝πcos2π+2k＝πcos2＝sinα＝22555.（步骤4）6.（13江西T11）函数2sin223sinyxx的最小正周期为T为.【测量目标】三角函数的周期.【难易程度】容易【参考答案】π【试题解析】2πsin223sinsin233cos22sin(2)33yxxxxx，故最小正周期为2ππ2T.7.(13江苏T1)函数π3sin(2)4yx的最小正周期为.【测量目标】三角函数的周期性.【难易程度】容易【参考答案】π【试题解析】函数π3sin(2)4yx的最小正周期2ππ2T.8．(13安徽T16)已知函数f(x)＝4cosωxπsin4x(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间π0,2上的单调性．【测量目标】二倍角，两角和的正弦，函数sin()yAx的图象与性质，三角函数的单调性、周期性.【难易程度】中等【试题解析】(1)f(x)＝4cosωxsinπ4x＝22sinωxcosωx＋22cos2ωx＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋2π2sin224x.(步骤1)因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π=π2，故ω＝1.（步骤2）(2)由(1)知，f(x)＝π2sin224x.若0„x„π2，则ππ5π2444x剟.（步骤3）当πππ2442x剟，即π08x剟时，f(x)单调递增；当ππ5π2244x剟，即ππ82x剟时，f(x)单调递减．（步骤4）综上可知，f(x)在区间π0,8上单调递增，在区间ππ,82上单调递减．（步骤5）9.（13陕西T16）已知向量1cos,2xa,b3sin,cos2,xxxR,设函数()=fxab.(1)求()fx的最小正周期;(2)求()fx在π0,2上的最大值和最小值.【测量目标】平面向量的数量积运算，三角函数的周期、最值.【难易程度】容易【试题解析】1()cos,3sin,cos22fxxx13cossincos22xxx31sin2cos222xxππcossin2sincos266xxπsin26x.（步骤1）（1）()fx最小正周期为2πT2ππ2,即函数()fx的最小正周期为π.（步骤2）（2）π0,2x剟ππ5π2.666x剟（步骤3）由正弦函数图象的性质得，当ππ262x，即π3x时，()fx取得最大值1.（步骤4）当ππ266x，即0x时，(0)f12.（步骤5）当π5π266x，即π2x时，π1()22f，（步骤6）()fx的最小值为12.因此，()fx在π(0,)2上的最大值是1，最小值是12.（步骤7）10．（13浙江T4）已知函数()cos()(0,0,)fxAxAR，则“)(xf是奇函数”是π2的（）A．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】三角函数的性质，三角函数的诱导公式和三角函数的奇偶性.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】若φ=π2，则f(x)=Acos(ωx+π2)f(x)=Asin(ωx)(A＞0，ω＞0，x∈R)是奇函数；若f(x)是奇函数f(0)=0，∴f(0)=Acos(ω×0+φ)=Acosφ=0.∴φ=kπ+π2，k∈Z，不一定有φ=π2，“f(x)是奇函数”是“φ=π2”必要不充分条件.故选B.11．（12湖北T17）已知向量(cossinsin)xxx，a，(cossin,23cos)xxxb，设函数()()fxxRab的图象关于直线πx对称，其中，为常数，且1(,1)2.（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）若()yfx的图象经过点π,04，求函数()fx在区间3π0,5上的取值范围.【测量目标】平面向量的数量积运算，三角函数的变换及化简.【难易程度】容易【试题解析】（I）因为22()sincoscosfxxxxcos23sin2.xxπ2sin(2)6x（步骤1）.由直线πx是()yfx图象的一条对称轴，可πsin(2π)16，所以ππ2ππ+()62kkZ，即1().23kkZ又1(,1)2kZ，，所以k=1，故56，所以fx的最小正周期为6π5.（步骤2）（II）由()yfx的图象过点π(,0)4，得π()04f，（步骤3）即5πππ2sin()2sin2,6264即2.故5π()2sin()2,36fxx（步骤4）由3π0,5x剟有π5π5π,6366x剟所以15πsin()1236x剟，得5π122sin()222,36x剟故函数()fx在3π0,5上的取值范围为12,22.（步骤5）12.（12安徽T16）设函数22π()cos(2)sin24fxxx.（I）求函数()fx的最小正周期；（II）设函数()gx对任意xR，有π()()2gxgx，且当π[0,]2x时，1()()2gxfx，求函数()gx在[π,0]上的解析式.【测量目标】两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，三角函数的性质，求分段函数解析式.【难易程度】中等【试题解析】22π111()cos(2)sincos2sin2(1cos2)24222fxxxxxx11sin222x.（步骤1）（1）函数()fx的最小正周期2ππ2T.（步骤2）（2）当π[0,]2x时，11()()sin222gxfxx，（步骤3）当π[,0]2x时，ππ()[0,]22xπ1π1()()sin2()sin22222gxgxxx，当π[π,)2x时，π(π)[0,)2x11()(π)sin2(π)sin222gxgxxx.（步骤4）得：函数()gx在[π,0]上的解析式为1πsin2(0),22()1πsin2(π).22xxgxxx剟„（步骤5）13.（12北京T15）已知函数(sincos)sin2()sinxxxfxx.（1）求()fx的定义域及最小正周期；（2）求()fx的单调递增区间.【测量目标】三角函数的定义域、周期、单调性.【难易程度】容易【试题解析】(sincos)sin2()sinxxxfxx=(sincos)2sincossinxxxxx=2(sincos)cosxxxsin21cos2xx=π2sin(2)14x，{|π}xxkkZ,(步骤1)(1)原函数的定义域为{|π,}xxkkZ，最小正