函数的单调性奇偶性与周期性知识点与试题

1函数的性质知识要点一、函数的奇偶性1．定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。2．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）确定f(－x)与f(x)的关系；（3）作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，)0)((1)()(0)()()()(xfxfxfxfxfxfxf则f(x)是奇函数。3．简单性质：（1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；（2）设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（3）任意一个定义域关于原点对称的函数()fx均可写成一个奇函数()gx与一个偶函数()hx和的形式，则()()()()(),()22fxfxfxfxgxhx。4．奇偶函数图象的对称性(1)若)(xafy是偶函数，则)()2()()(xfxafxafxaf)(xf的图象关于直线ax对称；(2)若)(xbfy是奇函数，则)()2()()(xfxbfxbfxbf)(xf的图象关于点)0,(b中心对称；25．一些重要类型的奇偶函数：（1）函数()xxfxaa是偶函数，函数()xxfxaa是奇函数；（2）函数221()(01xxxxxxaaafxaaaa且1)a是奇函数；（3）函数1()log1axfxx(0a且1)a是奇函数；（4）函数2()log(1)afxxx(0a且1)a是奇函数。二、函数的单调性1．定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)（3）函数单调性的两个等价形式：1212()()0(0)()fxfxfxxx在给定区间上单调递增（递减）；1212()()()0(0)()xxfxfxfx在给定区间上单调递增（递减）。2．如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。3．设复合函数y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g:x→u=g(x)的象集：①若u=g(x)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是增函数；②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是减函数，简称“同增异减”。4．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：（1）任取x1，x2∈D，且x1x2；（2）作差f(x1)－f(x2)；（3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；（5）下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。5．简单性质（1）奇函数在其对称区间上的单调性相同；（2）偶函数在其对称区间上的单调性相反；（3）在公共定义域内：增函数f(x)+增函数g(x)是增函数；减函数f(x)+减函数g(x)是减函数；增函数f(x)-减函数g(x)是增函数；减函数f(x)-增函数g(x)是减函数。3三、函数的最值1．定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最小值。注意：（1）函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；（2）函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（2）利用图象求函数的最大（小）值；（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；4函数的单调性A组1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是________．①f(x)＝1x②f(x)＝(x－1)2③f(x)＝ex④f(x)＝ln(x＋1)2．函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0a1)的单调减区间是________．3．函数y＝x－4＋15－3x的值域是________．4．已知函数f(x)＝|ex＋aex|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围是________．5．如果对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x)≥M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f(x)＝sinx；②f(x)＝lgx；③f(x)＝ex；④f(x)＝1(x0)0(x＝0)－1(x－1)6．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.(1)若存在x∈R使f(x)b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围.B组1．下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y＝－1x②y＝－(x－1)③y＝x2－2④y＝－|x|2．若函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．3．若函数f(x)＝x＋ax(a0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a的取值范围是________．4．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)x2－x10，则下列结论正确的是________．①f(3)f(－2)f(1)②f(1)f(－2)f(3)③f(－2)f(1)f(3)④f(3)f(1)f(－2)55．已知函数f(x)＝ax(x0)，(a－3)x＋4a(x≥0)满足对任意x1≠x2，都有f(x1)－f(x2)x1－x20成立，则a的取值范围是________．6．函数f(x)的图象是如下图所示的折线段OAB，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)，定义函数g(x)＝f(x)·(x－1)，则函数g(x)的最大值为________．7．已知定义域在[－1,1]上的函数y＝f(x)的值域为[－2,0]，则函数y＝f(cosx)的值域是________．8．已知f(x)＝log3x＋2，x∈[1,9]，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是________．9．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a0，a≠1)在区间(0，12)内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为__________．10．试讨论函数y＝2(log12x)2－2log12x＋1的单调性．11．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)－2.12．已知：f(x)＝log3x2＋ax＋bx，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由．6函数的性质A组1．设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系为________．2．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于________．3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为________．4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x－1)f(13)的x取值范围是________．5．已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对x∈R，f(2＋x)＝f(2－x)，当f(－3)＝－2时，f(2011)的值为________．6．已知函数y＝f(x)是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式；(3)求y＝f(x)在[4,9]上的解析式．B组1．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f(x)是偶函数②f(x)是奇函数③f(x)＝f(x＋2)④f(x＋3)是奇函数2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋32)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝________.3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝1，若将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝________.4．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)0的解集是________．5．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2009)＋f(2010)的值为________．76．已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x＋2)＝－1f(x)，若当2x3时，f(x)＝x，则f(2009.5)＝________.7．定义在R上的函数f(x)在(－∞，a]上是增函数，函数y＝f(x＋a)是偶函数，当x1a，x2a，且|x1－a||x2－a|时，则f(2a－x1)与f(x2)的大小关系为________．8．已知函数f(x)