函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、零点(心血之作)

凹凸个性教育给你未来的方向第1页/共11页函函函数数数的的的定定定义义义域域域、、、值值值域域域、、、单单单调调调性性性、、、奇奇奇偶偶偶性性性、、、对对对称称称性性性、、、反反反函函函数数数、、、伸伸伸缩缩缩平平平移移移变变变换换换、、、零零零点点点问问问题题题知知知识识识点点点大大大全全全一、函数的定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；例.（05江苏卷）函数20.5log(43)yxx的定义域为________________________2、求函数定义域的两个难点问题（1）知道f(x)的定义域（a，b），求f(g(x))的定义域：转化为解不等式ag(x)b；（2）知道f(g(x)）的定义域(a，b)，求f(x)的定义域：转化为求g(x)的值域。例3：（1）()x已知f的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。（2）(21)xx已知f－的定义域是[-1,3],求f()的定义域。例4：设2()lg2xfxx，则2()()2xffx的定义域为__________变式练习：24)2(xxf，求)(xf的定义域。二、函数的值域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且x∈R的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；⑦利用对号函数⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数凹凸个性教育给你未来的方向第2页/共11页例：1．（直接法）2123yxx2．2．2()2242fxxx3．（换元法）12xxy4．4.（Δ法）432xxy5.11y22xx6.6.(分离常数法)①1xxy②31(24)21xyxx7.(单调性)3([1,3])2yxxx8.①111yxx，②11yxx(结合分子/分母有理化的数学方法)9．(图象法)232(12)yxxx10．(对号函数)82(4)yxxx11.(几何意义)21yxx三、函数的单调性复合函数的单调性：（同增异减）设xgfy是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则xgfy在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则xgfy在M上是增函数。两个函数f(x)、g(x)之间的基本性质：增+增=增增—减=减减+减+减减—增=减例：1判断函数)()(3Rxxxf的单调性。凹凸个性教育给你未来的方向第3页/共11页2函数)(xf对任意的Rnm,，都有1)()()(nfmfnmf，并且当0x时，1)(xf，（1）求证：)(xf在R上是增函数；⑵若4)3(f，解不等式2)5(2aaf3函数)26(log21.0xxy的单调增区间是________4.(高考真题)已知(31)4,1()log,1aaxaxfxxx是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（）（A）(0,1)（B）1(0,)3（C）11[,)73（D）1[,1)7四、函数的奇偶性常用性质：1．0)(xf是既奇又偶函数；2．2．奇函数若在0x处有定义，则必有0)0(f；3．偶函数满足)()()(xfxfxf；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；5．0)(xf除外的所有函数奇偶性满足：奇函数±奇函数=奇函数奇函数×奇函数=偶函数奇函数±偶函数=非奇非偶奇函数×偶函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数6．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称；②看f(x)与f(-x)的关系例：1已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数.当)0,(x时，4)(xxxf，则当),0(x时，)(xf.2已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。凹凸个性教育给你未来的方向第4页/共11页（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围；3已知)(xf在（－1，1）上有定义，且满足),1()()()1,1(,xyyxfyfxfyx有证明：)(xf在（－1，1）上为奇函数；4若奇函数))((Rxxf满足1)2(f，)2()()2(fxfxf，则)5(f_______五、函数的周期性1．（定义）若)0)(()(TxfTxf)(xf是周期函数，T是它的一个周期。说明：nT也是)(xf的周期。（推广）若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期对照记忆：()()fxafxa说明：f(x)的周期为2a;()()faxfax说明：f(x)关于直线x=a对称。2．若)()(xfaxf；)(1)(xfaxf；)(1)(xfaxf；则)(xf周期是2a例：1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为（）(A)－1(B)0(C)1(D)22定义在R上的偶函数()fx，满足(2)(2)fxfx，在区间［-2,0］上单调递减，设(1.5),(2),(5)afbfcf，则,,abc的大小顺序为_____________3已知f(x)是定义在实数集上的函数，且,32)1(,)(1)(1)2(fxfxfxf若f(2005)=.4已知)(xf是(-，)上的奇函数，)()2(xfxf，当0x1时，f(x)=x，则f(7.5)=________凹凸个性教育给你未来的方向第5页/共11页5设)(xf是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足)()2(xfxf，当]2,0[x时22)(xxxf⑴求证：)(xf是周期函数；⑵当]4,2[x时，求)(xf的解析式；⑶计算：六、函数的对称性我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(xfxf奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(xfxf上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(xfy关于ax对称)()(xafxaf)()(xafxaf也可以写成)2()(xafxf或)2()(xafxf简证：设点),(11yx在)(xfy上，通过)2()(xafxf可知，)2()(111xafxfy，即点)(),2(11xfyyxa也在上，而点),(11yx与点),2(11yxa关于x=a对称。得证。若写成：)()(xbfxaf，函数)(xfy关于直线22)()(baxbxax对称（2）函数)(xfy关于点),(ba对称bxafxaf2)()(bxfxaf2)()2(上述关系也可以写成或bxfxaf2)()2(简证：设点),(11yx在)(xfy上，即)(11xfy，通过bxfxaf2)()2(可知，bxfxaf2)()2(11，所以1112)(2)2(ybxfbxaf，所以点)2,2(11ybxa也在)(xfy上，而点)2,2(11ybxa与),(11yx关于),(ba对称。得证。若写成：cxbfxaf)()(，函数)(xfy关于点)2,2(cba对称（3）函数)(xfy关于点by对称:假设函数关于by对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于by对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于by对称，比如圆04),(22yxyxc它会关于y=0对称。两个函数的图象对称性1、)(xfy与)(xfy关于X轴对称。凹凸个性教育给你未来的方向第6页/共11页换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0y对称。2、)(xfy与)(xfy关于Y轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0x对称。3、)(xfy与)2(xafy关于直线ax对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)2()(xagxf，即它们关于ax对称。4、)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足axgxf2)()(，即它们关于ay对称。5、)2(2)(xafbyxfy与关于点(a,b)对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点(a,b)对称。6、)(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤（1）解(2)换(3)写定义域。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；（4）f-1[f(x)]=x;（5）若点(a,b)在y=f(x)的图象上，则(b,a)在y=f--1(x)的图象上；（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f--1(x)的图象的交点一定在直线y=x上;例：设函数()yfx的反函数为1()yfx，且(21)yfx的图像过点1(,1)2，则1()yfx的图像必过（A）1(,1)2（B）1(1,)2（C）(1,0)（D）(0,1)八、函数的平移伸缩变换凹凸个性教育给你未来的方向第7页/共11页1、平移变换：（左+右-，上+下-）即kxfyxfyhxfyxfykkhh)()()()(,0;,0,0;,0上移下移左移右移对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）)()()()()()()()()()()()(1xfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxxyxyyx轴下方图上翻轴上方图，将保留边部分的对称图轴右边不变，左边为右原点轴轴例：1．f(x)的图象过点(0,1)，则f(4-x)的反函数的图象过点（）A.(3,0)B.(0,3)C.(4,1)D.(1,4)2．作出下列函数的简图：（1）y=|logx2|；（2）y=|2x-1|；（3）y=2|x|；九、函数的零点问题1．函数零点概念对函数yfx，把使0fx的实数x叫做函数yfx的零点．2.零点存在性定理：如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断一条曲线，并且有0fafb，那么，函数yfx在区间a,b内有零点.即存在ca,b，使得0fc，这个c也就是方程0fx的根.问题1:函数1fxx,有1120,2022ff,那么在2,2上函数1fxx有零点吗?凹凸个性教育给你未来的方向第8页/共11页问题2:函数2()68fxxx在区间1,3,0,1,1,5有零点吗?引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗?解法二:几何解法(1).e2xfxx可化为2xex．画出函数xye和2yx的图象，可