平面向量的综合应用考点与题型归纳

平面向量的综合应用考点与题型归纳考点一平面向量与平面几何[典例](2019·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，|AB―→|＝12，|AD―→|＝8.若点M，N满足BM―→＝3MC―→，DN―→＝2NC―→，则AM―→·NM―→＝()A．20B．15C．36D．6[解析]法一：由BM―→＝3MC―→，DN―→＝2NC―→知，点M是BC的一个四等分点，且BM＝34BC，点N是DC的一个三等分点，且DN＝23DC，所以AM―→＝AB―→＋BM―→＝AB―→＋34AD―→，AN―→＝AD―→＋DN―→＝AD―→＋23AB―→，所以NM―→＝AM―→－AN―→＝AB―→＋34AD―→－AD―→＋23AB―→＝13AB―→－14AD―→，所以AM―→·NM―→＝AB―→＋34AD―→·13AB―→－14AD―→＝13AB―→＋34AD―→·AB―→－34AD―→＝13AB―→2－916AD―→2＝13144－916×64＝36，故选C.法二：不妨设∠DAB为直角，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M(12,6)，N(8,8)，所以AM―→＝(12,6)，NM―→＝(4，－2)，所以AM―→·NM―→＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.[答案]C[题组训练]1．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB―→－OC―→)·(OB―→＋OC―→－2OA―→)＝0，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形解析：选A由(OB―→－OC―→)·(OB―→＋OC―→－2OA―→)＝0，得CB―→·(AB―→＋AC―→)＝0，∵AB―→－AC―→＝CB―→，∴(AB―→－AC―→)·(AB―→＋AC―→)＝0，即|AB―→|＝|AC―→|，∴△ABC是等腰三角形．2．(2018·西安质检)已知P为△ABC所在平面内一点，AB―→＋PB―→＋PC―→＝0，|AB―→|＝|PB―→|＝|PC―→|＝2，则△ABC的面积等于()A.3B．23C．33D．43解析：选B由|PB―→|＝|PC―→|得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连接PD(图略)，则PD⊥BC，又AB―→＋PB―→＋PC―→＝0，所以AB―→＝－(PB―→＋PC―→)＝－2PD―→，所以PD＝12AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由|PB―→|＝2，|PD―→|＝1可得|BD―→|＝3，则|BC―→|＝23，所以△ABC的面积为12×2×23＝23.3.如图，在扇形OAB中，OA＝2，∠AOB＝90°，M是OA的中点，点P在弧AB上，则PM―→·PB―→的最小值为________．解析：如图，以O为坐标原点，OA―→为x轴的正半轴，OB―→为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，则M(1,0)，B(0,2)，设P(2cosθ，2sinθ)，θ∈0，π2，所以PM―→·PB―→＝(1－2cosθ，－2sinθ)·(－2cosθ，2－2sinθ)＝4－2cosθ－4sinθ＝4－2(cosθ＋2sinθ)＝4－25sin(θ＋φ)其中sinφ＝55，cosφ＝255，所以PM―→·PB―→的最小值为4－25.答案：4－25考点二平面向量与解析几何[典例](2017·江苏高考)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．[解](1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，a∥b，所以－3cosx＝3sinx．则tanx＝－33.又x∈[0，π]，所以x＝5π6.(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－3)＝3cosx－3sinx＝23cosx＋π6.因为x∈[0，π]，所以x＋π6∈π6，7π6，从而－1≤cosx＋π6≤32.于是，当x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋π6＝π，即x＝5π6时，f(x)取到最小值－23.[题组训练]1．已知向量OA―→＝(k,12)，OB―→＝(4,5)，OC―→＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．解析：∵AB―→＝OB―→－OA―→＝(4－k，－7)，BC―→＝OC―→－OB―→＝(6，k－5)，且AB―→∥BC―→，∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11.由k0，可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.答案：2x＋y－3＝02．若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP―→·FP―→的最大值为________．解析：由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，则有x204＋y203＝1，解得y20＝31－x204，因为FP―→＝(x0＋1，y0)，OP―→＝(x0，y0)，所以OP―→·FP―→＝x0(x0＋1)＋y20＝x20＋x0＋31－x204＝x204＋x0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，故当x0＝2时，OP―→·FP―→取得最大值224＋2＋3＝6.答案：6考点三平面向量与三角函数[典例]已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|PA―→＋PB―→＋PC―→|的最大值为()A．6B．7C．8D．9[解析]由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，知线段AC为圆的直径，设圆心为O，故PA―→＋PC―→＝2PO―→＝(－4,0)，设B(a，b)，则a2＋b2＝1且a∈[－1,1]，PB―→＝(a－2，b)，所以PA―→＋PB―→＋PC―→＝(a－6，b)．故|PA―→＋PB―→＋PC―→|＝－12a＋37，所以当a＝－1时，|PA―→＋PB―→＋PC―→|取得最大值49＝7.[答案]B[解题技法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．[题组训练]1．(2019·南昌模拟)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a·b＝0是α＝kπ＋π4(k∈Z)的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B∵a·b＝cosα·cos(－α)＋sinα·sin(－α)＝cos2α－sin2α＝cos2α，若a·b＝0，则cos2α＝0，∴2α＝2kπ±π2(k∈Z)，解得α＝kπ±π4(k∈Z)．∴a·b＝0是α＝kπ＋π4(k∈Z)的必要不充分条件．故选B.2．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为()A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：选C由m⊥n，得m·n＝0，即3cosA－sinA＝0，由题意得cosA≠0，∴tanA＝3，又A∈(0，π)，∴A＝π3.又acosB＋bcosA＝2RsinAcosB＋2RsinBcosA＝2Rsin(A＋B)＝2RsinC＝c(R为△ABC外接圆半径)，且acosB＋bcosA＝csinC，所以c＝csinC，所以sinC＝1，又C∈(0，π)，所以C＝π2，所以B＝π－π3－π2＝π6.[课时跟踪检测]A级1．已知向量a＝cosπ6，sinπ6，b＝cos5π6，sin5π6，则|a－b|＝()A．1B.62C.3D.102解析：选C因为a－b＝cosπ6－cos5π6，sinπ6－sin5π6＝(3，0)，所以|a－b|＝3，故选C.2．若向量OF1―→＝(1,1)，OF2―→＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为()A.10B．25C.5D.15解析：选C由于F1＋F2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F1＋F2|＝－22＋－12＝5.3．(2019·牡丹江第一高级中学月考)已知圆O是△ABC的外接圆，其半径为1，且AB―→＋AC―→＝2AO―→，AB＝1，则CA―→·CB―→＝()A.32B．3C.3D．23解析：选B因为AB―→＋AC―→＝2AO―→，所以点O是BC的中点，即BC是圆O的直径，又AB＝1，圆的半径为1，所以∠ACB＝30°，且AC＝3，则CA―→·CB―→＝|CA―→|·|CB―→|cos∠ACB＝3.4．已知向量m＝sinA，12与向量n＝(3，sinA＋3cosA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选C因为m∥n，所以sinA(sinA＋3cosA)－32＝0，所以2sin2A＋23sinAcosA＝3.可化为1－cos2A＋3sin2A＝3，所以sin2A－π6＝1，因为A∈(0，π)，所以2A－π6∈－π6，11π6.因此2A－π6＝π2，解得A＝π3.5．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA―→·(PB―→＋PC―→)的最小值是()A．－2B．－32C．－43D．－1解析：选B如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则PA―→＝(－x,3－y)，PB―→＝(－1－x，－y)，PC―→＝(1－x，－y)，所以PA―→·(PB―→＋PC―→)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y－322－32，当x＝0，y＝32时，PA―→·(PB―→＋PC―→)取得最小值，为－32.6．已知向量a＝(4,0)，b＝(2,23)，非零向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，|c|的最大值与最小值分别为m，n，则m－n的值为()A．1B．3C．2D．4解析：选D设c＝(x，y)，因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(4－x，－y)·(2－x,23－y)＝x2＋y2－6x－23y＋8＝0，所以(x－3)2＋(y－3)2＝4，所以满足条件的向量c的终点落在以(3，3)为圆心，2为半径的圆上，所以|c|的最大值与最小值分别为m＝2＋23，n＝23－2，所以m－n＝4.7．已知△ABC中，D为边BC上的点，且BD＝2DC，AD―→＝xAB―→＋yAC―→，则x－y＝________.解析：由向量的加法法则知AD―→＝AB―→＋BD―→＝AB―→＋23BC―→＝AB―→＋23(AC―→－AB―→)＝13AB―→＋23AC―→，所以x＝13，y＝23，所以x－y＝－13.答案：－138．设e1，e2，e3为单位向量，且e3＝12e1＋ke2(k0)，若以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为12，则k＝________.解析：设e1，e2的夹角为θ，则由以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为12，得12×1×1×sinθ＝12，得sinθ＝1，所以θ＝90°，所以e1·e2＝0，从而对e3＝12e1＋ke2两边同时平方得1＝14＋k2，解得k＝32或－32(舍去)，所以k＝32.答案：329.如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，AB―→与AC―→的夹角为60°，则|OA―→|＝________.解析：AB―→·AC―→＝|AB―→|·|AC―→|cos60°＝1×3×1