24.6(3)实数与向量相乘(三)

九年级第一学期数学§24.6实数与向量相乘(3)根据实数与向量相乘的意义，可知：如果b=ma，则b∥a设非零实数m，向量a≠0设AE=a，BF=b如果b=ma，则直线AE与直线BF平行或重合1.探究：E,F分别是△ABC边AB，AC的中点，试用向量证明：EF∥BC,EF=BC．12FECBA证明:E,F分别是AB,AC的中点∴MN//BC,MN=BC121212EF=AF-AE=AC-AB1212∴AE=AB,AF=AC1212=(AC-AB)=BCABDC在⊿ABC中,设D为BC的中点,求证:求证:AD=(AB+AC)12证明：ADABBDADACCD又2ADABBDACCD∵D是BC的中点BDCD2ADABAC1AD()2ABAC例1.如图：已知AD=3AB，DE=3BC，试证明A、C、E三点共线．ABDEC解：AE=AD+DE=3AB+3BC=3(AB+BC)=3AC∴AE//AC∴A、E、C三点共线练习：设a，b是两个不平行的向量，已知AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a–b)，求证：A，B，D三点共线。证明：∵BD=BC+CD=(2a+8b)+3(a-b)=5a+5b=5(a+b)=5AB∴BD//AB，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线如果b∥a，那么b能用a表示出来吗？已知向量a≠0平行向量定理：如果向量b与非零向量a平行，那么存在唯一的实数m，使b=ma12121212,33;25,33.3aeebeeaeebee1.判断下列各小题中的向量a与b是否平行：其中是非零向量.1)2)12ee、2.如图：E,F,G,H分别是AB,AC,DC,DB的中点，1)用向量AB,AC表示向量EF；用向量DB,DC表示向量HG；2)向量EF与HG相等吗？四边形EFGH是平行四边形吗？HGDFECBA1122EFACAB1122HGDCDBEFHG四边形EFGH是平行四边形.3.已知：a+b=2c，a–b=3c，其中c是非零向量，试判断向量a与b是否平行？为什么？23abcabc解：5212acbc5abab4.已知OA=a,OB=b，OA’=5a,OB’=5b,试求：AB与A’B’,并判断AB与A’B’是否平行？POBA5题图5.已知OA=a,OB=b，若AP=2PB,试求：OP.ABOBOAba2233APba2133OPOAAPba2、不同的单位向量，是指它们的方向不同。用e表示，则|e|=1单位向量：长度为1的向量叫做单位向量1、单位向量有无数个。3、对于任意非零向量a，与它同方向的单位向量记作a0，则，0||aaa0||aaa特别注意：1.a是一个非零向量，且m≠0，若b=ma，则b∥a.2.平行向量定理：如果向量b与非零向量a平行，那么存在惟一的实数m，使b=ma．注：反之亦成立；即为：平行向量的判定定理3.一种特殊的向量：长度为1的向量叫做单位向量．说明：单位向量有无数个；不同的单位向量是指它们的方向不同．小结回顾二、定理的应用：1.证明向量平行2.证明三点共线:AB=mBCA、B、C三点共线3.证明两直线平行:AB=mCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD一、①ka的意义及运算律②平行向量定理(a≠0)b=ma向量a与b共线如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M、N、C三点共线。31ADBCMN31则MN=…=a+b61MC=…=a+b21提示：设AB=aBC=b