高中必修第一册数学《2.2-基本不等式》课时练习

12.2基本不等式【本节明细表】知识点、方法题号基本不等式直接应用1,2,3,5利用基本不等式求最值7,8,9,10,11利用基本不等式解决实际问题4,12,13基础巩固1．若0n，则9nn的最小值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】∵9296nn（当且仅当n＝3时等号成立）故选：C．2．已知x，0,y，1xy，则xy的最大值为（）A．1B．12C．13D．14【答案】D【解析】因为x，0,y，1xy，所以有21112()24xyxyxy，当且仅当12xy时取等号，故本题选D.3．若实数x，y满足1xy，则224xy的最小值为______．【答案】4【解析】因为1xy，所以2222422244xyxyxyxy，当2xy时取“”，所以224xy的最小值为4，故答案为4.4．用篱笆围一个面积为2100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（）A．30B．36C．40D．50【答案】C【解析】设矩形的长为()xm，则宽为100()mx，设所用篱笆的长为()ym，所以有10022yxx，根据2基本不等式可知：1001002222240yxxxx，（当且仅当10022xx时，等号成立，即10x时，取等号）故本题选C.5．已知正实数a，b满足41ab，则1ba的最小值为（）A．4B．6C．9D．10【答案】C【解析】∵0a，0b，41ab，∴141bababa445529abababab…，当且仅当4,41ababab时，即1,36ab时取“”.故答案选C6．若0,0ab，则“4ab”是“4ab”的_____条件【答案】充分不必要【解析】当0,0ab时，由基本不等式，可得2abab，当4ab时，有24abab，解得4ab，充分性是成立的；例如：当1,4ab时，满足4ab，但此时=54a+b，必要性不成立，综上所述，“4ab”是“4ab”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件.7．已知1x，则331xx的最小值是_______.【答案】3【解析】因为1x，所以10x，所以333331323133111xxxxxx（当且仅当0x时，等号成立）.8．已知正实数,xy满足3x+y+=xy，则xy的最小值为__________．【答案】63【解析】由题得2)34xyx+y+=xy（,所以2)4(xyxy（）-120，所以6)(2)0xyxy（，所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)，所以x+y的最小值为6.当且仅当x=y=3时取等.故答案为：69．（I）证明：273+6；（II）正数a，b满足41ab，求11ab的最小值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）9【解析】（Ⅰ）证明：要证2736，只需证222736，即证92149218.由于1418，所以92149218成立，即2736成立.（Ⅱ）解：11114ababab4=5+abba4529abba当4abba，即13a，16b时，11ab取最小值9.能力提升10．若0,0xy，且211xy，227xymm恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(8,1)B．(,8)(1,)C．(,1)(8,)D．(1,8)【答案】A4【解析】由基本不等式得2144224248yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当4,0yxxyxy，即当2xy时，等号成立，所以，2xy的最小值为8.由题意可得2min728mmxy，即2780mm，解得8m或1m.因此，实数m的取值范围是,81,U，故选：B.11．下列命题中：①若222ab，则ab的最大值为2；②当0,0ab时，1124abab；③41yxx的最小值为5；④当且仅当,ab均为正数时，2abba恒成立.其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)【答案】①②【解析】①若222ab，则ab的最大值为22222222()242abababababab，正确②当0,0ab时，1124abab1112224abababab，1ab时等号成立，正确③41yxx的最小值为5，取0,4xy错误④当且仅当,ab均为正数时，2abba恒成立,ab均为负数时也成立.故答案为①②12．已知A、B两地的距离是100km，按交通法规定，A、B两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h，假设汽油的价格是7元/L，汽车的耗油率为26L/h400x，司机每小时的工资是70元（设汽车为匀速行驶），那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？5【答案】80,280【解析】设总费用为w则210042007700011200767701(60120)4004400xxxxxwxxxx112007280(60120)4xxwx当112007804xxx时等号成立，满足条件故最经济的车速是80/kmh，总费用为280.素养达成13．某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为1875立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为x米.（1）用含x的表达式表示池壁面积S；（2）当x为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？【答案】（1）6256Sxx；（2）当25x米时，最低造价是98500元.【解析】（1）由题意得：池底面积为18756253平方米，池底长方形的宽为625x米625625236Sxxxx（2）设总造价为y元，则：6256120625100yxx化简得：62572062500yxx因为625262550xx，当且仅当625xx，即25x时取等号720506250098500y即当25x米时，最低造价是98500元