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第二章等式与不等式2.1等式2.1.1等式的性质与方程的解集1.常用乘法公式(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.(2)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍.(3)其他恒等式：①(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3；②(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；③(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.【思考】(1)平方差公式的左右两边分别有什么特点？提示：公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方.(2)完全平方公式的左右两边分别有什么特点？提示：公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次三项式；公式右边第一、三项分别是左边第一、第二项的平方；第二项是左边两项积的2倍.2.十字相乘法(1)二次项系数为1时：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)(2)二次系数不为1时：acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)(3)记忆口诀：拆两头，凑中间.【思考】十字相乘法分解因式的关键是什么？提示：把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因式相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数.3.方程的解集：(1)方程的解(根)：能使方程左右两边相等的未知数的值.(2)方程的解集：一个方程所有的解组成的集合.【思考】把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)计算(2a+5)(2a-5)=2a2-25.()(2)因式分解过程为：x2-3xy-4y2=(x+y)(x-4).()(3)用因式分解法解方程时部分过程为：(x+2)(x-3)=6，所以x+2=3或x-3=2.()提示：(1)×.(2a+5)(2a-5)=(2a)2-25=4a2-25.(2)×.x2-3xy-4y2=(x+y)(x-4y).(3)×.若(x+2)(x-3)=0，可化为x+2=0或x-3=0.2.方程x(x-1)=x的根是()A.x=2B.x=-2C.x1=-2，x2=0D.x1=2，x2=0【解析】选D.因为x(x-1)=x，所以x2-x=x，所以x2-2x=0，所以x(x-2)=0，所以x1=2，x2=0.3.(多选题)下列等式中，是恒等式的是()A.(x-2)(x+2)=x2-4B.(a-b)2=a2-2ab+b2C.(-3+m)·(3+m)=m2-9D.16x2-9=24x【解析】选A、B、C.A中，(x-2)·(x+2)=x2-4，使用平方差公式化简，是恒等式；B中，(a-b)2=a2-2ab+b2，使用完全平方公式化简，是恒等式；C中，(-3+m)(3+m)=(m-3)(m+3)=m2-9，平方差公式化简，是恒等式；D中，16x2-9=24x是方程，不是恒等式.类型一常用乘法公式的应用【典例】1.化简(m2+1)(m+1)(m-1)-(m4+1)的值是()A.-2m2B.0C.-2D.-12.计算(x+3y)2-(3x+y)2的结果是()A.8x2-8y2B.8y2-8x2C.8(x+y)2D.8(x-y)2【思维·引】1.先把第一项中的(m+1)(m-1)用平方差公式化简，再和m2+1利用平方差公式化简，最后去括号，合并同类项，化简.2.方法一：先用完全平方公式化简，然后去括号，合并同类项即可；方法二：把x+3y和3x+y分别看作一个整体，利用平方差公式化简.【解析】选C.1.(m2+1)(m+1)(m-1)-(m4+1)=(m2+1)(m2-1)-(m4+1)=(m4-1)-(m4+1)=m4-1-m4-1=-2.2.选B.方法一：(x+3y)2-(3x+y)2=x2+6xy+9y2-(9x2+6xy+y2)=x2+6xy+9y2-9x2-6xy-y2=8y2-8x2.方法二：(x+3y)2-(3x+y)2=[(x+3y)+(3x+y)][(x+3y)-(3x+y)]=(x+3y+3x+y)(x+3y-3x-y)=(4x+4y)(-2x+2y)=4(x+y)×2(-x+y)=8y2-8x2.【内化·悟】1.利用数学公式化简，公式中的a，b是一个代数式时，怎么处理？提示：当公式中的a，b是一个代数式时，利用整体代入思想，把代数式看作一个整体代入即可.2.一个题目中要应用多个公式时，怎样选择公式使用顺序？提示：当一个题目中要使用多个数学公式时，我们要根据题目特点适当选择公式，尽可能将运算简化.【类题·通】(1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式.(2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算.【习练·破】1.如果(a-b-3)(a-b+3)=40，那么a-b的值为()A.49B.7C.-7D.7或-7【解析】选D.(a-b-3)(a-b+3)=(a-b)2-9=40，即(a-b)2=49，则a-b=±7.2.已知a2+b2+2a-4b+5=0，则2a2+4b-3的值为________.【解析】a2+b2+2a-4b+5=(a2+2a+1)+(b2-4b+4)=(a+1)2+(b-2)2=0，所以a=-1，b=2，所以2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3=7.答案：7类型二十字相乘法分解因式【典例】把下列各式因式分解.(1)x2+3x+2(2)6x2-7x-5(3)5x2+6xy-8y2【思维·引】(1)x2+3x+2的二次项的系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.(2)6x2-7x-5的二次项系数是6=2×3，常数项-5=1×(-5)，一次项系数-7=2×(-5)+3×1，这是一个acx2+(ad+bc)x+bd型式子，因此可用公式acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)分解因式.(3)5x2+6xy-8y2的二次项系数是5=1×5，常数项-8y2=2y×(-4y)，一次项系数6y=1×(-4y)+5×(2y)，这也是一个acx2+(ad+bc)x+bd型式子，因此可用公式acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)分解因式.【解析】(1)x2+3x+2=(x+1)(x+2)1×2+1×1=3(2)6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)2×(-5)+3×1=-7(3)5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y)1×(-4y)+5×(2y)=6y【内化·悟】利用十字相乘法分解因式时，怎样把二次项和常数项分解？提示：当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.【类题·通】十字相乘法因式分解的形式尝试把某些二次三项式如ax2+bx+c分解因式，先把a分解成a=a1a2，把c分解成c=c1c2，并且排列如下：这里按斜线交叉相乘的积的和就是a1c2+a2c1，如果它正好等于二次三项式ax2+bx+c中一次项的系数b，那么ax2+bx+c就可以分解成(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1，c1是上图中上面一行的两个数，a2，c2是下面一行的两个数.【习练·破】1.x2+10x+16分解因式为()A.(x+2)(x+8)B.(x-2)(x+8)C.(x+2)(x-8)D.(x-2)(x-8)【解析】选A.x2+10x+16=(x+2)(x+8).1×8+1×2=102.x2-13xy-30y2分解因式为()A.(x-3y)(x-10y)B.(x+15y)(x-2y)C.(x+10y)(x+3y)D.(x-15y)(x+2y)【解析】选D.x2-13xy-30y2=(x-15y)(x+2y)1×2y+1×(-15y)=-13y3.6x2-29x+35分解因式为()A.(2x-7)(3x-5)B.(3x-7)(2x-5)C.(3x-7)(2x+5)D.(2x-7)(3x+5)【解析】选B.6x2-29x+35=(3x-7)(2x-5)3×(-5)+2×(-7)=-29【加练·固】1.因式分解(x2-7x)2+10(x2-7x)-24.【解析】(x2-7x)2+10(x2-7x)-24=(x2-7x+12)(x2-7x-2)=(x-3)(x-4)(x2-7x-2).2.已知a2-ab-6b2=0(a≠0，b≠0)，求的值.baab【解析】因为a2-ab-6b2=0，所以(a-3b)(a+2b)=0，所以a=3b或a=-2b，当a=3b时，当a=-2b时，=-2.bab3b1133,ab3bb33bab2b12ab2bb212类型三方程的解集角度1一元一次方程的解集【典例】(多选题)下列方程中，解集为{-3}的方程是()A.x+1=0B.2x+1=-8-xC.3-3x=1D.2x+6=013【思维·引】解一元一次方程时，通过移项、合并同类项、系数化为1等过程，解方程.【解析】选ABD.把x=-3分别代入各选项，只有C选项左右两边的值不相等.角度2一元二次方程的解集【典例】求下列方程的解集：(1)x(x-2)+x-2=0.(2)x2+5x-6=0.【思维·引】(1)提取公因式x-2把原方程化为两个因式的积的形式，解方程.(2)对于二次三项式，一般先采用十字相乘法分解因式，分解因式后再解方程即可.【解析】(1)因式分解，得：(x-2)(x+1)=0.于是得x-2=0或x+1=0，即x=2或x=-1，因此方程的解集为{-1，2}.(2)分解因式得：x2+5x-6=(x-1)(x+6)，1×(-1)+1×6=5因为x2+5x-6=0，所以(x-1)(x+6)=0，所以x-1=0或x+6=0，即x=1或x=-6.因此方程的解集为{-6，1}.【类题·通】利用因式分解法解一元二次方程的步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边进行因式分解；③令每个因式为0，得到两个一元一次方程；④解一元一次方程，得到方程的解.【发散·拓】对于二次三项式，采用十字相乘法分解因式时，要注意把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，两个因式的和正好等于一次项系数.注意，交叉相乘横着写.【习练·破】求下列方程的解集：(1)5x2-2x-=x2-2x+.(2)12x2+5x-2=0.1434【解析】(1)移项、合并同类项，得4x2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.于是得2x+1=0或2x-1=0，即x=-或x=，因此方程的解集为121211{,}.22(2)分解因式得：12x2+5x-2=(3x+2)(4x-1)3×(-1)+4×2=5因为12x2+5x-2=0，所以(3x+2)(4x-1)=0，所以3x+2=0或4x-1=0，即x=-或x=，因此方程的解集为21{,}.342314角度3分类讨论思想的应用【典例】解方程ax2-(a+1)x+1=0.【思维·引】把二次项系数分为a=0和a≠0两种情况讨论，第一种情况是解一元一次方程，第二种情况是解一元二次方程.【解析】当a=0时，原方程可化为-x+1=0，所以x=1，当a≠0时，对于ax2-(a+1)x+1来说，因为a×1=a，(-1)×(-1)=1，a×(-1)+1×(-1)=-(a+1).如图所示ax2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)，所以原方程可化为(ax-1)(x-1)=0，所以ax-1=0或x-1=0，所以x=或x=1.1a【类题·通】形如ax2+bx+c=0(含参)的方程的解法方程的二次项系数中含有参数时，要讨论二次项系数是否可以等于零，当二次项系数等于零时，讨论方程变为一元一次方程或其他情况，当