高中物理竞赛-话题14：摩擦角及隔离法与整体法

1话题14：摩擦角及隔离法与整体法一、摩擦角1、全反力当物体对支承面有弹力N和摩擦力f或sf两个作用力时，支承面对物体有弹力N和摩擦力f或sf两个反作用力，把支承面反作用物体的沿接触面法线方向的弹力N和切线方向的摩擦力f或sf的合力叫做支承面对物体的全约束反力，简称全反力F，全反力22FfN或22sFfN全反力。2、摩擦角全反力F和与接触面法线方向的夹角叫全反角，tansfN或tanfN。最大的全反角叫摩擦角。由摩擦角的意义可知：接触面间存在着的摩擦角m，tansmmfN或tanmfN；如果m则物体就不能滑动，所心m可作为判断物体不发生滑动的条件；如果物体除全反力外其它力的合力和接触面的法线夹角小于摩擦角，则不管其它力的合力多大物体都不能滑动，这种现象就叫自锁；如果物体发生了滑动，则摩擦角不变，只是f、N、F大小会随外界条件的改变而改变，但全反力的方向不变。二、隔离法与整体法1、隔离法：当物体对象有两个或两个以上时，有必要各个击破，逐个讲每个个体隔离开来分析处理，称隔离法。在处理各隔离方程之间的联系时，应注意相互作用力的大小和方向关系。2、整体法：当各个体均处于平衡状态时，我们可以不顾个体的差异而讲多个对象看成一个整体进行分析处理，称整体法。应用整体法时应注意“系统”、“内力”和“外力”的涵义。例1、物体放在水平面上，用与水平方向成030的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素。解：这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。可以通过不同解法的比较留下深刻印象。解法一，正交分解。（分析受力→列方程→得结果。）解法二，用摩擦角解题。2引进全反力R，对物体两个平衡状态进行受力分析，再进行矢量平移，得到图中的左图和中间图（注意：重力G是不变的，而全反力R的方向不变、F的大小不变），m指摩擦角。再将两图重叠成图的右图。由于灰色的三角形是一个顶角为030的等腰三角形，其顶角的角平分线必垂直底边故有：015m。最后，tanm。答案：0.268。思考：如果F的大小是可以选择的，那么能维持物体匀速前进的最小F值是多少？解：右图中虚线的长度即minF，所以，0minsin15FG。例2、如图所示，质量5mkg的物体置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小30FN的推力推物体，使物体能够沿斜面向上匀速运动，而斜面体始终静止。已知斜面的质量10Mkg，倾角为030，重力加速度210/gms，求地面对斜面体的摩擦力大小。解：本题旨在显示整体法的解题的优越性。解法一，隔离法。简要介绍解法二，整体法。注意，滑块和斜面随有相对运动，但从平衡的角度看，它们是完全等价的，可以看成一个整体。做整体的受力分析时，内力不加考虑。受力分析比较简单，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。答案：26.0N。地面给斜面体的支持力是多少？解：略。答：135N。例3、如图所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜面的倾角为。另一质量为m的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力F作用在滑块上，使之能沿斜面匀速上滑，且要求斜面体静止不动，就必须施加一个大小为4sincosPmg的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个F的大小和方向。FRG030mFRGmmm3解：这是一道难度较大的静力学题，可以动用一切可能的工具解题。解法一：隔离法。由第一个物理情景易得，斜面于滑块的摩擦因素tan对第二个物理情景，分别隔离滑块和斜面体分析受力，并将F沿斜面、垂直斜面分解成xF和yF，滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示（N表示正压力和弹力，f表示摩擦力），如图所示。对滑块，我们可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡sinxFfmgcosyFmgN且tanfNN综合以上三式得到：tan2sinxyFFmg(1)对斜面体，只看水平方向平衡就行了cossinPfN即：4sincoscossinmgNN代入值，化简得：cosyFmg(2)(2)代入(1)可得：3sinxFmg最后由22xyFFF解F的大小，由tanyxFF解F的方向（设为F和斜面的夹角）。答案：大小为218sinFmg方向和斜面夹角1arctan(cot)3指向斜面内部。解法二：引入摩擦角和整体法观念。mgfNPNmFxFyFmgfNmFxFyFmgfNFmgRFmgR090()4仍然沿用“解法一”中关于F的方向设置（见图中的角）。先看整体的水平方向平衡，有：cos()FP(1)再隔离滑块，分析受力时引进全反力R和摩擦角，由于简化后只有三个力（R、mg和F），可以将矢量平移后构成一个三角形，如图所示。在图右边的矢量三角形中，有：0sin()cos()sin90()Fmgmg(2)注意：ctanarctan(tan)ar(3)解(1)(2)(3)式可得F和的值。三、一个接触面的平衡问题例4、一物体质量为m，置于倾角为的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。解析：本题有两种解法，一种是根据平衡条件利用数学建模得到()FF后再求极值，另一种是引入全反力（摩擦角）化四力平衡为三力平衡根据矢量三角形直观快速地求解。解法一：（利用平衡条件求解）设拉力与斜面夹角为，则由平衡条件可得：cos(cossin)sin0FmgFmg即有(sincos)(cossin)mgF令tan，则有2(sincos)sincossin()1Fmgmg解法二：（引入摩擦角）如图所示，设arctan，则由平衡条件和矢量三角形可得：当拉力F垂直于全反力方向时此时F的拉力最小，即：2sincoscos()1Fmgmg例5．结构均匀的梯子AB，靠在光滑竖直墙上，已知梯子长为L，重为G，与地面间的动GF5摩擦因数为，如图所示，求梯子不滑动，梯子与水平地面夹角的最小值0；当0时，一重为P的人沿梯子缓慢向上，他上到什么位置，梯子开始滑动？分析：本题也有两种解法：解法一是根据物体的平衡条件求解，这是常规解法；另一解法是分析出它临界条件0再引入摩擦角解。解法一：(1)如图所示，平衡条件可得：1NfNNG100sincos2LNLG由上述三式可解得：0arctan2(2)如图所示，由平衡条件可得：1NfNNGP1000sincos()cos22LLNLGPx由上述三式可解得：2Lx解法二：(1)（引入摩擦角）如图所示，arctan，由平衡条件可得：00cossintan2LL所以有0arctan2(2)如图所示，将梯子和人的重力用其等效重力代替G，当等效重力的重心还在梯子重心下面时梯子还不会滑倒，当等效重力的重心还在梯子重心上面时梯子就会滑倒，所以当人上到梯子一半即2L时，梯子开始滑动。四、两个接触面的平衡问题例6．一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙的静摩擦系数分别为1、2，求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。BA0BA01NNGfBA01NNGfPBA01NNGfPBA01NGFBA01NGF6分析：此题同样有两种解法，为了节省篇幅，接下来只介绍引入摩擦角的解法。此题是多点摩擦的问题，而且又是多点同时滑动，所以系统达到临界平衡状态（极限平衡状态）时，即梯子与水平所成的夹角最小时，各处摩擦力均达到最大值。现把两端点的受力用全反力表示，则梯子就只受三个力，且三个力必共点。解：如图所示，11arctan，22arctan，由平衡条件和几何关系可得：tan222BCDHDEDHDEACAHAHEB2121211111122222cotcot即梯子与地面所成的最小的角为1211arctan2[想一想]为什么多点摩擦同时滑动的临界条件是多点的摩擦力同时达到最大值？例4．在互相垂直的斜面上放置一匀质杆AB如图所示，设各接触面的摩擦角均为(tan)，求平衡时，杆AB与斜面AO的交角。已知斜面BO和水平面交角。分析：此题也是多点摩擦同时滑动问题。平衡时杆AB与斜面AO的交角有最大、最小值。一般平衡情况下夹角介于两者之间。解：在求min时，通过引入全反力，杆子受到如图所示的三个力，由平衡条件可知三力必共点，由几何关系可知：12012(3490)由上述三式可得：2在求max时，通过引入全反力，杆子受到如图所示的三个力，由平衡条件可知三力必共点，由几何关系可知：DB2FE1FCAHG12ABOG1F2F213471222012(3490)由上述三式可得：2例5．如图所示，每侧梯长为l的折梯置于铅垂平面内，已知A、B两处动摩擦因数分别为0.2A、0.6B，不计梯重，求人能爬多高而梯不滑到。解析：这是多点摩擦不同时滑动的平衡问题，比前面的例题要复杂。如果地面与梯的摩擦系数足够大，则梯子不会滑到，现两边的摩擦系数较小，所以梯子有可能滑到，所以必须对A、B分别分析。解：由题意可得：00.230Aarctan，00.630Barctan如果从A开始往上爬，爬到如图所示时梯子将滑到，此时受力如图所示，设此时人离A端的距离为s，则由平衡条件和几何关系可得：0cot()cot30Asls所以从A端能爬的最大高度为0tan600.44Hsl如果从B端开始往上爬，爬到如图所示时梯子将滑到，此时受力如图所示，这将不可能，因为A梯早就滑动了或A梯早就转动了。综上所述，人能爬的最大高度是0.44l。[想一想]为什么人在梯子上爬时，水平地面对另一边梯子的作用力必须沿梯子方向？小结：引入摩擦角的好处：通过全反力的等效替代，可以减少力的个数，化多力平衡问题为三力平衡问题；可以迅速确定临界平衡状态；把平衡问题的判断转化为寻求角度之间的关系，这是求解平衡问题的重要思路。五、“摩擦角”在实际中的应用ABOG1F2F2134ABGAFBFAFABGBF81、“千斤顶”中的学问【例1】在固定的斜面上放一物体，并对它施加一竖直向下的压力，物体与斜面间的摩擦因数为μ。求斜面倾角θ的最大值，使得当θ≤θm时，无论竖直向下的压力有多大，物体也不会滑下。分析：如图，物体受四个力，重力和压力的合力为G+F，静摩擦力Fs，斜面支持力FN。将G+F分解为F1和F2，根据平衡条件得FN=F2=（G+F）cosθFs=F1=（G+F）sinθ物体不会滑下的条件是Fs小于最大静摩擦力Fm，而Fm=μFN，从而有（G+F）sinθ≤（G+F）cosθ化简得θ≤arctanμ所以只要θ≤arctanμ，无论F有多大，物体也不会滑下。说明：“千斤顶”螺旋实际可以看作是tan＜μ的弯曲斜面。2、推力的极大值（自锁）【例2】在机械设计中，常用到下面的力学装置，如图只要使连杆AB与滑块m所在平面法线的夹角θ小于某个值，那么无论连杆AB对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑动，且连杆AB对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定，工程力学上称为‘自锁’现象。则自锁时θ应满足什么条件？设滑块与所在平面间的动摩擦因数为μ。分析：将连杆AB对滑块施加的推力F分解，且F远远大于mg，可以忽略。则滑块m不产生滑动的条件为Fsinθ＜μFcosθ化简得自锁的条件为θ＜arctanμ。3、运动员的弯道技术【例3】在田径比赛、摩托车赛、自行车赛等运动项目中，当通过弯道时