函数关系式的建立方法

中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-1-【2013年中考攻略】专题15：函数关系式的建立方法探讨“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”这是《课标》关于模型思想的一段描述。因此，各地中考试卷都有“方程（组）、不等式（组）、函数建模及其应用”类问题，专题5和6已经对方程（组）、不等式（组）的建模及其应用进行了探讨，本专题再对函数建模及其应用进行探讨。结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面五方面进行函数关系式建立方法的探讨：（1）应用待定系数建立函数关系式；（2）应用等量关系建立函数关系式；（3）应用几何关系建立函数关系式；（4）应用分段分析建立函数关系式；（5）应用猜想探索建立函数关系式。一、应用待定系数建立函数关系式：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。这种方法适用于已知了函数类型（或函数图象）的一类函数建模问题。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数，写出表达式。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，kyx的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，顶点式y=a(x－h)2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a、x1、x2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。典型例题：例1：（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于▲．【答案】16。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上，中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-2-∴令a=0，则P1（－1，－3）；再令a=1，则P2（0，－1）。设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），∴kb3b1，解得k2b1。∴直线l的解析式为：y=2x－1。∵Q（m，n）是直线l上的点，∴2m－1=n，即2m－n=1。∴(2m－n＋3)2=（1+3）2=16。例2：（2012山东聊城7分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），∴kb0b=2，解得k2b=2。∴直线AB的解析式为y=2x﹣2。（2）设点C的坐标为（x，y），∵S△BOC=2，∴12•2•x=2，解得x=2。∴y=2×2﹣2=2。∴点C的坐标是（2，2）。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式。（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标。中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-3-例3：（2012湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？【答案】解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b，∵图象经过（0，1500），（25，1000），∴b=150025k+b=1000，解得：k=20b=1500。∴排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500。清洗阶段：y=0。灌水阶段：设解析式为：y=at+c，∵图象经过（195，1000），（95，0），∴195a+c=100095a+c=0，解得：a=10b=950。∴灌水阶段解析式为：y=10t﹣950。（2）∵排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500，∴令y=0，即0=﹣20t+1500，解得：t=75。∴排水时间为75分钟。清洗时间为：95﹣75=20（分钟），∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500m3，∴1500=10t﹣950，解得：t=245。故灌水所用时间为：245﹣95=150（分钟）。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-4-【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0和灌水阶段解析式即可。（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。例4：（2012湖南娄底3分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【】A．1y2xB．2yxC．2yxD．1yx【答案】B。【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设反比例函数图象设解析式为kyx，将点（﹣1，2）代入kyx得，k=﹣1×2=﹣2。则函数解析式为2yx。故选B。例5：（2012江苏连云港12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△ABD的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．【答案】解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c，得c=34+2b+c=3，解得b=2c=3。∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3。(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。∴△ABD中AB边的高为4。中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-5-令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3。∴AB＝3－(－1)＝4。∴△ABD的面积＝12×4×4＝8。(3)如图，△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（1）(2)可知OA＝1，OC=3，∵点A对应点G的坐标为(3，2)。∵当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，∴点G不在该抛物线上。【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积。(3)根据旋转条件求出点A对应点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可。例6：（2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为▲．【答案】y=﹣x2+4x﹣3。【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1。又∵抛物线y=a（x﹣2）2+1经过点B（1，0），∴（1，0）满足y=a（x﹣2）2+1。∴将点B（1，0）代入y=a（x﹣2）2得，0=a（1﹣2）2即a=﹣1。∴抛物线的函数关系式为y=﹣（x﹣2）2+1，即y=﹣x2+4x﹣3。例7：（2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-6-（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；②若⊙M的半径为455，求点M的坐标．【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1。∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2。（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=32，即OP=32。（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。（i）如图1，当H在点C下方时，∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴yM=﹣2。∴x2﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1。∴M（1，﹣2）。（ii）如图2，当H在点C上方时，∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，设直线CM′的解析式为y=kx﹣2，把P（32，0）的坐标代入，得32k﹣2=0，解得k=43。∴y=43x﹣2。由43x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=73。中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-7-此时y=47102=339。∴M′（71039，）。②在x轴上取一点D，如图3，过点D作DE⊥AC于点E，使DE=455，在Rt△AOC中，AC=2222AO+CO=1+2=5。∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，∴△AED∽△AOC，∴ADDE=ACOC，即45AD5=25，解得AD=2。∴D（1，0）或D（﹣3，0）。过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣4=0，解得121171+17xx22，。∴点M的坐标为（1173+172，）或（1+173172，）。中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-8-练习题：1.（2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）2.（2012山东菏泽7分）如图，一次函数2y=x23的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B、C两点直线的