高一数学必修一函数的表示法1

1DCBA1.2函数及其表示§1.2.2函数的表示法1教学目的：1．掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．2．培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念奎屯王新敞新疆教学重点：解析法、图象法．教学难点：作函数图象奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？二、讲解新课：函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=602t，A=2r，S=2rl,y=a2x+bx+c(a0),y=2x(x2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.例如，学生的身高单位：厘米学号123456789身高125135140156138172167158169数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买x{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像奎屯王新敞新疆解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为y=5x，x{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A(1，5)B(2，10)C(3，15)D(4，20)组成，如图所示奎屯王新敞新疆2xy8016024032040020406080100xy例2国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封xg(0x100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像奎屯王新敞新疆解：这个函数的定义域集合是1000x，函数的解析式为].100,80(,400],80,60(,320],60,40(,240],40,20(,160],20,0(,80xxxxxy这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示.这一种函数我们把它称为分段函数奎屯王新敞新疆例3画出函数y=|x|=.0,0xxxx的图象.解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.说明：①再次说明函数图象的多样性；②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数，而不是几个函数.③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet）函数D(x)=.x0x1是无理数，是有理数，，,我们就作不出它的图象.例4作出分段函数21xxy的图像解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：21xxy=123)12(xx1122xxx作出图像如下例5作出函数xxy1的图象列表描点：QPOGNMLK(0.2，5.0)(0.3，4.0)(0.4，3.0)(1.0，2.0)(2.0，2.5)(3.0，3.3)(4.0，4.3)(5.0，5.2)K'L'M'N'G'O'P'Q'(-5.0，-5.2)(-4.0，-4.3)(-3.0，-3.3)(-2.0，-2.5)(-1.0，-2.0)(-0.4，-3.0)(-0.3，-4.0)(-0.2，-5.0)x0x01xx{y=xy38642-2-4-6-10-5510108642-2-4-6-10-5510Q'P'O'G'N'M'L'K'G'GQPONMLK654321-1-2-3-4-6-4-22468补充：1．作函数y=|x-2|(x＋1)的图像分析显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，49)21(2)1)(2(22xxxxxy当x＜2时，即x-2＜0时，49)21(2)1)(2(22xxxxxy.∴4921492122xxy22xx这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出2．作出函数|32|2xxy的函数图像解：032)32(032322222xxxxxxxxy步骤：（1）作出函数y=2x2x3的图象（2）将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|2x2x3|的图象奎屯王新敞新疆4四、课后练习一、选择题1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为………()＝－x＝x－1＝x＋1＝－x＋12.已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为…………………………………()A.－2B.6C.1D.03.已知f(x)＝1x2－1，g(x)＝x＋1，则f(g(x))的表达式是……………………()1x2＋2xx2x2－1x2x2＋2x1x2－14.已知函数y＝f(1)＝0f(n＋1)＝f(n)＋3，n∈N*，则f(3)等于……………………()二、填空题5.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是，值域是.6.已知f(x)与g(x)分别由下表给出那么f(g(3))＝.三、解答题x1234f(x)4321x1234g(x)314257.解答下列问题：(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)；(2)若函数f(x)＝xax＋b，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x).8.作下列各函数的图象：(1)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)；(2)y＝|x－1|；9.已知函数f(x)＝2x，(x≤－1)1，(－1＜x≤1)－2x，(x＞1).(1)求f(x)的定义域、值域；(2)作出这个函数的图象.6课后作业参考答案一、选择题1.2.B3.A[f(g(x))＝1(x＋1)2－1＝1x2＋2x.]4.f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋3＝0＋3＝3，∴f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋3＝3＋3＝6.选二、填空题5.［-3,3］［-2,2］6.【答案】1由表可得g(3)＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝1.三、解答题7.【解析】(1)令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3.∴f(x)＝2x2－4x＋3.(2)由f(2)＝1得22a＋b＝1，即2a＋b＝2；由f(x)＝x得xax＋b＝x变形得x(1ax＋b－1)＝0，解此方程得：x＝0或x＝1－ba.又因为方程有唯一解，所以1－ba＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝12，所以所求解析式为f(x)＝2xx＋2.8.【解析】(1)∵0≤x＜3，∴这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x＜3之间的一段弧(如图(1)).(2)所给函数可写成分段函数y＝x－1x≥11－xx＜1是端点为(1,0)的两条射线(如图(2)).9.【解析】(1)f(x)的定义域为{x|x≤－1}∪{x|－1＜x≤1}∪{x|x＞1}＝{x|x≤－1或－1＜x≤1或x＞1}＝R，f(x)的值域为{y|y≤－2}∪{1}∪{y|y＜－2}＝{y|y≤－2或y＝1}，∴f(x)的定义域为R，值域为{y|y≤－2或y＝1}.(2)根据解析式分段作图如图