必修一---函数及其表示

1高一数学（必修一）集合与函数第三节函数及其表示（一）【本节相关知识总结】1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．注意：定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.*相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)值域:先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.(2)画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示．5．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作f（对应关系）：A（原象）B（象）对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。2(2)各部分的自变量的取值情况．(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．补充：复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。【课堂训练】1.函数y=x111的定义域是（）。（A）{x|x∈R,x≠0}（B）{x|x∈R,x≠1}（C）{x|x∈R,x≠0,x≠1}（D）{x|x∈R,x≠0,x≠－1}2.对于函数f(x)=ax2+bx+c,(a)0若它的顶点的横坐标为1，则方程ax2+bx+c＝0的两根之和为（）A0.5B1C2D43.从集合M={m,n}到集合N={1,2}可以建立映射的个数共有（）。（A）1（B）2（C）3（D）44.下列各对函数中，图象完全相同的是（）。（A）y=x与y=2x（B）y=xx与y=x0（C）y=(x)2与y=|x|（D）y=11xx与y=)1)(1(xx5.已知函数f(x)满足f(a)＋f(b)=f(ab)，且f(2)=p,f(3)=q，那么f(72)＝（）。（A）p＋q（B）3p＋2q（C）2p＋3q（D）p3＋q26.已知函数xxxf3)(2，212)(xxg)0()0(xx则)]1([)1(fgg______.7.函数111)(xxxxxf的定义域是_____________.8.1)(2xxxf，则)2(f=_________；)1(af_________；)(baf_________；))2((ff_________9.已知xxxf2122，则2f。10.画出下列函数图象并有图象观察起定义域和值域。（1）3xy（2）32xy【能力训练】一、选择题1．设函数()23,(2)()fxxgxfx，则()gx的表达式是（）A．21xB．21xC．23xD．27x2．函数)23(,32)(xxcxxf满足,)]([xxff则常数c等于（）A．3B．3C．33或D．35或33．已知)0(1)]([,21)(22xxxxgfxxg，那么)21(f等于（）A．15B．1C．3D．304．已知函数yfx()1定义域是[]23，，则yfx()21的定义域是（）A．[]052，B.[]14，C.[]55，D.[]37，5．函数224yxx的值域是（）A．[2,2]B．[1,2]C．[0,2]D．[2,2]6．已知2211()11xxfxx，则()fx的解析式为（）A．21xxB．212xxC．212xxD．21xx二、填空题1．若函数234(0)()(0)0(0)xxfxxx，则((0))ff=．2．若函数xxxf2)12(2，则)3(f=.3．函数21()223fxxx的值域是。4．已知0,10,1)(xxxf，则不等式(2)(2)5xxfx的解集是。5．设函数21yaxa，当11x时，y的值有正有负，则实数a的范围。三、解答题1．设,是方程24420,()xmxmxR的两实根,当m为何值时,22有最小值?求出这个最小值.2．求下列函数的定义域（1）83yxx（2）11122xxxy（3）xxy1111143．求下列函数的值域（1）xxy43（2）34252xxy（3）xxy214．作出函数6,3,762xxxy的图象。5【能力训练】答案：一、选择题1.B∵(2)232(2)1,gxxx∴()21gxx；2.B()3,(),32()3223cfxxcxxfxcfxcxx得3.A令2211111(),12,,()()152242xgxxxffgxx4.A523,114,1214,02xxxx；5.C22224(2)44,042,240xxxxxxx20242,02xxy；6.C令22211()1121,,()11111()1txttttxfttxttt则。二、填空题1.234(0)f;2.1令2213,1,(3)(21)21xxffxxx；3.32(2,]222223(1)22,232,xxxxx212320,2()2223fxxx4.3(,]2当320,2,(2)1,25,2,2xxfxxxx即则当20,2,(2)1,25,2xxfxxxx即则恒成立，即∴32x；5.1(1,)3(),(1)31,(1)1,(1)(1)(31)(1)0yfxfafaffaa令则得113a三、解答题1.解：21616(2)0,21,mmmm或222222min1()21211,()2mmm当时2.解：（1）∵8083,30xxx得∴定义域为8,3（2）∵222101011,110xxxxxx得且即∴定义域为16（3）∵00111021101011xxxxxxxxxx得∴定义域为11,,0223.解：（1）∵343,43,,141xyyyxyxxyxy得，∴值域为|1yy（2）∵222432(1)11,xxx∴2101,05243yxx∴值域为0,5（3）1120,,2xxyx且是的减函数，当min11,22xy时，∴值域为1[,)24.解：（五点法：顶点，与x轴的交点，与y轴的交点以及该点关于对称轴对称的点）