云南大学2005年高等代数

2005年云南大学硕士研究生入学考试试题专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论考试科目：《高等代数A卷》一．判断：2x为多项式54326112128fxxxxxx的几重根，为什么？（15分）二．设是不为1的5次单位根，证明：行列式444433332222444D。（15分）三．设1,,nfxxXAX是一实二次型，若有实n维向量12,XX使11220,0,XAXXAX证明：必存在实n维向量00X使000XAX四．设1234,,,是4维线性空间V的一组基，已知线性变换T在这组基下的矩阵为1021121312552222（1）求T在1122233444,,,下的矩阵B（2）求T的核和值域；（3）若线性变换T，有100T，问T是否为可逆变换？为什么？五．已知0a，用非退化的线性变换化二次型123121323,,fxxxaxxbxxcxx为标准型六．已知向量组1231:,,;12342:,,,;12353:,,,;假设秩1秩23，秩34。证明：向量组123544:,,,;的秩为4。七．设1,,nfxx和1,,ngxx为两个实二次型，1,,nfxx正定。证明：在nR中方程组11,,1,,1nnfxxgxx无解的充要条件是11,,,,nnfxxgxx为正定或负定二次型。八．证明：（1）方阵A的特征根全是零的充要条件是存在自然数m,使得0mA（2）若0mA则0AE这里E是与A同阶的单位矩阵。