题型-二次函数压轴题

尾页首页针对演练目录二、解答题重难点突破第二部分题型研究目录题型七二次函数压轴题类型一线段问题类型二面积问题类型三图形判定问题拓展类型三角形相似问题尾页首页针对演练目录类型一线段问题尾页首页针对演练目录典例精讲例1如图，抛物线y=ax2+bx+8(a≠0)与直线y=x+4相交于A（-4,0），C（1,m）两点，抛物线与x轴的另一个交点为B（点B在点A的右侧），直线y=x+4交y轴于点D，点P是线段AC上方抛物线上一个动点（不与A，C重合），过点P作PG⊥x轴于点G，交直线y=x+4于点F，作PE⊥AC于点E.（1）求抛物线的解析式；尾页首页针对演练目录例1题图【思路点拨】将C（1,m）代入y=x+4中，求得m的值即可知C点坐标.二次函数y=ax2+bx+8(a≠0)含有两个未知数，将点A，C坐标代入得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组可求得a，b的值，即可知抛物线的解析式.尾页首页针对演练目录解：（1）把C（1,m）代入y=x+4得，m=1+4=5，则C（1,5）.把A（-4,0），C（1,5）代入y=ax2+bx+8(a≠0)得16a-4b+8=0a=-1a+b+8=5b=-2则抛物线的解析式为y=-x2-2x+8.，，解得例1题图，尾页首页针对演练目录（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；【思路点拨】思路一：将(1)求得的二次函数解析式配方成顶点式，即可写出抛物线的顶点坐标和对称轴；思路二：根据二次函数顶点坐标公式直接写出顶点坐标和对称轴.尾页首页针对演练目录（2）解：方法一：抛物线的解析式：y=-x2-2x+8=-(x+1)2+9，则抛物线的顶点坐标为（-1,9），对称轴为x=-1.方法二：＝-1，=9，所以对称轴是x=-1，顶点坐标是（-1,9）.22124(-1)8-(-2)4(-1)尾页首页针对演练目录（3)求出AC的长；【思路点拨】过点C作x轴的垂线可构造出直角三角形，AC是直角三角形的斜边，根据A,C两点坐标分别求出两直角边即可知AC长.如解图①过点C作CC′⊥x轴于C′，∵A（-4,0），C（1,5），∴AC′=4+1=5，CC′=5,∴AC==.22''ACCC52例1题解图①解：尾页首页针对演练目录（4）若点P的横坐标为x,请求出线段PE的长度关于P点横坐标x的函数解析式；由AC的解析式可求出点D的坐标，根据OA,OD的长度可知△OAD是等腰直角三角形，根据角度的关系可以判定△PEF也是等腰直角三角形，所以求出PF的长度即可知PE的长度.根据抛物线和直线AC的解析式可分别写出P点和F点的坐标.由此可知PF的长度，题目得解.【思路点拨】尾页首页针对演练目录∴PE=PF；∵点P的横坐标为x，则点P坐标为（x,-x2-2x+8），点F坐标为(x,x+4)，∴PF=-x2-2x+8-(x+4)=-x2-3x+4，即PF=-x2-3x+4（-4x1），∴PE=PF=（-4x1）.22222322--2222xx解：（4）直线AC交y轴于点D，则D点坐标为（0,4），∴OA=OD=4.∴∠DAO=45°，由题意得，∠PGA=90°，∴∠PFE=∠AFG=45°，即△PEF为等腰直角三角形，尾页首页针对演练目录（5）当x为何值时，线段PE有最大值，请求出这个最大值；【思路点拨】思路一：将（4）得到的PE长度的函数关系式配方成顶点式，根据二次函数的性质求得最大值即可；思路二：因为△PEF是等腰直角三角形，所以当PF最长时，PE取得最大值.根据(4)中求得的解析式求PF的最大值，可知PE的最大值.注意：因P是线段AC上方抛物线上的点，所以求得最大值后，要检验P是否符合要求.尾页首页针对演练目录∴当，PF最大，此时PE最大∴当时，PE有最大值；2232PE=--+2222x223252=-(+)+228x3-2x=ax3=-225=42528（5）解：方法一：方法二：∵PF=-x2-3x+42325=-(+)+24x25242252.8尾页首页针对演练目录(6)当x为何值时，△PEF的周长有最大值，请求出这个最大值；【思路点拨】因为△PEF是等腰直角三角形，所以PE或者PF取得最大值时，三角形的周长最大，根据（5）的计算结果，即可求出最大值.尾页首页针对演练目录解：（6）在等腰直角三角形PEF中，PE=EF=PF,∴△PEF的周长=PE+PF+EF=（+1）PF，由（5）知当x=-时，PF取得最大值，∴当x=-时，△PEF的周长最大为(+1).22232232254254尾页首页针对演练目录(7)在（6）的条件下，求出P，F，G，E的坐标；【思路点拨】由x=，可直接写出G点坐标，将x=分别代入直线AC和抛物线的解析式可求出点F，P的纵坐标，则F,P点坐标可求.过点E作EM⊥x轴，过点F作FM⊥y轴，两线交于点M，可得等腰直角三角形EFM，在等腰直角三角形PEF中可求EF长，从而可知FM，EM，再结合点F坐标即可知E点坐标.3-23-2尾页首页针对演练目录（7）解：如解图②，当x=时，点G坐标为（，0）；点F坐标为(,)；点P坐标为(,)；过点E作EM⊥x轴，过点F作FM⊥y轴,两线交于点M，由题意得，△EFM为等腰直角三角形，EF=PE=，则MF=ME=，∴xE=yE=∴点E坐标为(,)；25313-=828，3232523542528138258458458例1题解图②3-23-23-225548+=828，尾页首页针对演练目录（8）若PF=3FG,求x的值；【思路点拨】由P点的横坐标为x，可分别写出点P,F,G点的坐标，从而可用x表示出PF和FG线段长，根据关系式列方程即可求x值.注意检验x值是否符合题意.点P的横坐标为x，则F（x，x+4），所以FG=x+4，由（4）知PF=-x2-3x+4，∵PF=3FG，∴-x=-3x+4=3（x+4），解得x=-2或-4.当x=-4时，点P与点A重合，不合题意，故x=-2.解：尾页首页针对演练目录(9)若点P为抛物线上任意一点，如果∠PAB≤∠DAO，请求出x的取值范围；【思路点拨】根据题意，结合图象，判断出分两种情况讨论，点P在x轴上方时，根据点C和点B的坐标即可得解；当点P在x轴下方时，求得y=x+4关于x轴对称的解析式，联立抛物线解析式求出交点坐标即可得解.尾页首页针对演练目录解：（9）点P为抛物线上任意一点，如果∠PAB≤∠DAO，如解图③，分两种情况：①若点P在x轴上方,则点P在点C下方，B点上方时，∠PAB≤∠DAO,∵点C坐标为（1,5），B点坐标为（2,0），则1≤x≤2；②若点P在x轴下方,当∠PAB=∠DAO时，设AP与抛物线交点N，当点P在点B下方，N点上方时，满足∠PAB≤∠DAO,例1题解图③尾页首页针对演练目录③设直线AN交y轴于点H,∵∠PAB=∠DAO，则点H与点D关于原点对称，可得，点H坐标为（0，-4），则直线AN的解析式为y=-x-4，联立y=-x2-2x+8y=-x-4，得x1=3，x2=-4（与点A重合，舍去）则2≤x≤3；综上所述，点P为抛物线上任意一点，如果∠PAB≤∠DAO，则1≤x≤3；例1题解图③尾页首页针对演练目录（10）在（9）条件下，当P点的纵坐标为整数值时，点P为“好点”，请求出点P“好点”的个数.【思路点拨】由函数图象可知，当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，分别求出y的最大值和最小值，确定在此范围内y的整数值的个数即可.尾页首页针对演练目录解：（10）由二次函数图象可知，当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，当x=1时，y=-x2-2x+8=5；当x=3时，y=-x2-2x+8=-7.即-7≤y≤5，共13个整数值，则点P“好点”的个数为13个.尾页首页针对演练目录类型二面积问题尾页首页针对演练目录典例精讲例2如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线AB相交于A（-3，0），B（0,3）两点，与x轴的另一个交点为C，抛物线对称轴为直线l，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E.（1）求直线AB的解析式；例2题图尾页首页针对演练目录解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+d，将A（-3,0），B（0,3）代入得-3k+d=0d=3∴直线AB的解析式为y=x+3.【思路点拨】利用待定系数法直接计算.设直线AB的解析式为y=kx+d,分别将A,B两点坐标代入，得到关于k，d的二元一次方程组，解方程组求得k，d的值即可知AB的解析式.解得，k=1d=3，尾页首页针对演练目录（2）求抛物线的解析式；【思路点拨】将点A、B的坐标代入y=-x2+bx+c即可得到b、c的值，从而得到抛物线解析式.将点A（-3,0），点B（0,3）代入抛物线得：-9-3b+c=0c=3b=-2c=3∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.解得，，解：尾页首页针对演练目录（3）求△ABC的面积和四边形AOBD的面积；【思路点拨】根据抛物线解析式可求出点C，D坐标.在△ABC中，可根据A,C点坐标求出底边AC长，根据点B的坐标求出高OB的长，即可求面积.对于四边形AOBD，可分割成△AOB和△ABD分别进行计算.Rt△AOB的面积可根据OA,OB长进行计算.在△ABD中，设对称轴与AB的交点为D′，求出DD′的长度即可求出△ABD的面积，从而四边形AOBD的面积可求.尾页首页针对演练目录解：（3）由y=-x2-2x+3，转化为顶点式得y=-(x+1)2+4，∴抛物线的对称轴为x=-1,顶点D为（-1,4）；令y=0得-x2-2x+3=0，解得x1=-3,x2=1，∴点C的坐标为（1,0）,∵点A（-3,0），点B（0,3），点C（1,0），∴AO=3，OC=1，OB=3，例2题解图①尾页首页针对演练目录∵BO⊥AC，∴S△ABC=AC×BO=×（3+1）×3＝6；如解图①，设抛物线的对称轴与AB的交点为D′，将x=-1带入y=x+3得y=2，∴D′（-1,2），∴DD′=2，∴S△ABD=×OA×DD′=3，∴S四边形AOBD=S△ABO+S△ABD=×3×3+3=12.152例2题解图①121212尾页首页针对演练目录（4）在抛物线上是否存在点G，使得△GAE的面积与△BEC的面积相等，若存在，请写出相应的点G的坐标；若不存在，请说明理由；【思路点拨】在△BEC中，OB是EC边上的高，根据点坐标可求出EC和OB，从而可知△BEC的面积.在△GAE中，A,E点坐标都可求出，当以AE为底时，G点纵坐标的绝对值是△GAE的高，分G在x轴上方和x轴下方分别列方程求解即可.尾页首页针对演练目录例2题解图②（4）解：如解图②，当G在x轴上方时，∵点G在抛物线上，设点G的坐标为（g,-g2-2g+3），∵点G在x轴上方，∴-g2-2g+3＞0，过G作GG′⊥x轴于G′，S△AEG=AE×GG′＝×2×（-g2-2g+3）∵S△BEC=EC×OB=×2×3=3，∴·2·（-g2-2g+3）=3，解得g1=-2，g2=0,这样的点G有两个，坐标为(-2,3)，(0,3).1212121212尾页首页针对演练目录如解图③，当点G在x轴下方，-g2-2g+3＜0，则GG′=-（-g2-2g+3）=g2+2g-3，S△AEG=AE·GG′＝×2×（g2+2g-3）=3，解得g3=-1+，g4=-1-，∴这样的点G也有两个，坐标分别为(-1+,-3)，(-1-,-3).12127777例2题解图③尾页首页针对演练目录（5）在抛物线上是否存在一点M，使得S△ABM=S△ABC，若存在，请写出相应的点M的坐标，若不存在，请说明理由；【思路点拨】由(3)已经求得△ABC的面积，本题即转化为在抛物线上求一点M使△ABM的面积为定值，解决方法同（4）.尾页首页针对演练目录（5）解：(i)如解图④，当M在直线AB上方时，过点M做MM′⊥x轴于点M′，交AB于M″，设M（m,-m2-2m+3）,则M′(m，0),M″(m,m+3),∴MM″=-m2-3m，S△ABM=×AO×MM″=m2m,根据题意S△ABM=S△ABC=6，则m