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云南大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试自命题科目试题（考生注意：全部答案必须写在答题纸上，否则后果自负！）考试科目名称：数学分析考试科目代码：823一、（30分）填空题（共5题，每题6分，共30分）1.极限2325(2)(3)lim(5)nnnnnnn+++→∞++=+。2.函数()sinfxxxπ=不可导的点是。3.设22lnzxy=+，其中()yyx=由方程0xyey−=确定，则(1,2)dzdx=。4.幂级数221(1)9nnnxn∞=−∑的收敛域是。5.积分211xdxx=−∫。二、（10分）试研究函数11(1)2(1),0(),0xxxxfxeex−⎧+⎪⎪=⎨⎪⎪≤⎩的连续性。三、（20分）设()fx在[0,)+∞可导，且(1)3f=，若()fx的反函数()xϕ满足(ln1)2()lnfxtdtxxϕ+=∫，求()fx.四、（20分）证明：若函数()fx在[0,1]上存在二阶导数，且(0)(1)0ff==，01min()1xfx≤≤=−，则01max()8xfx≤≤′′≥.五、（20分）已知函数(,)zzxy=满足方程222222(1)(1)zzzzxyxyxyxy∂∂∂∂−+−=+∂∂∂∂，试利用变换sin,sin,euxyzξη===，把方程变为新函数(,)uuξη=所满足的方程。六、（15分）计算积分()dSxyyzzxS++∫∫，其中S是圆锥面22xyy+=截下的一块曲面。七、（15分）计算曲线积分()()()222dddxyzxyzxyzxyzΓ−+−+−∫其中Γ是从点(1,0,0)A到点(1,0,8)B的螺旋线4cos,sin,πxyzϕϕϕ===. 八、（20分）设()xϕ是(,)−∞+∞上周期为1的连续函数，且10()d0fxx=∫，函数()fx在[0,1]上有连续导数，又设10()()dnafxnxxϕ=∫.证明：级数21nna∞=∑收敛。