高中数学必修五：第1章《解三角形》章末总结ppt课件

章末总结网络建构专题归纳网络建构专题归纳题型一利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中,a=4,A=60°,当b满足下列条件时解三角形.(1)b=433;(2)b=22+263;(3)b=833;(4)b=8.名师导引:已知两边及其一边的对角,用正弦定理求解,但应注意准确判断解的情况,也可以用余弦定理求解.解:(1)∵ab,A=60°∴B为锐角,由正弦定理得sinB=basinA=12,∴B=30°,C=90°,由正弦定理得c=sinaA·sinC=833.(2)由正弦定理得sinB=ba·sinA=262234×32=624,当B为锐角时B=75°,C=45°.由正弦定理得c=sinaA·sinC=463;当B为钝角时B=105°,C=15°,由正弦定理得c=sinaA·sinC=22-263.(3)法一由正弦定理得sinB=ba·sinA=1,∴B=90°,C=30°,由正弦定理得c=sinaA·sinC=433.法二设第三边长为c,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得16=643+c2-833c,即c2-833c+163=0.∴(c-433)2=0,∴c=433,由正弦定理得sinC=ca·sinA=12.∵ac,∴C为锐角,∴C=30°,B=90°.(4)由正弦定理得sinB=ba·sinA=31,无解,不存在满足条件的三角形.规律方法在已知两边和其中一边的对角解三角形时,一是要注意判断解的个数,二是要注意大边对大角这一性质.题型二判断三角形的形状【例2】在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.解:法一由正弦定理,得2sinB=sinA+sinC.∵B=60°,∴A+C=120°,即A=120°-C,代入上式,得2sin60°=sin(120°-C)+sinC,展开,整理得32sinC+12cosC=1.∴sin(C+30°)=1,∴C+30°=90°,∴C=60°,故A=60°.∴△ABC为正三角形.法二由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB.∵B=60°,2b=a+c,∴(2ac)2=a2+c2-2accos60°.整理,得(a-c)2=0,∴a=c,从而a=b=c.∴△ABC为正三角形.规律方法在边角混合条件下判断三角形的形状时,可考虑利用正、余弦定理将条件转化为角角关系结合三角公式求解,亦可将条件转化为边边关系,分解因式求解,但其原则是能够转化,且转化后能顺利实施.题型三正、余弦定理与三角函数的综合运用【例3】(2012年高考天津卷)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a=2,c=2,cosA=-24.(1)求sinC和b的值;(2)求cos(2A+π3)的值.名师导引:(1)条件中已知两边a、c及其边a对角的余弦值,故应先求出角A的正弦值,再由正弦定理求sinC,进而利用余弦定理求边b;(2)先求出cos2A,sin2A再由和角公式求值.解:(1)在△ABC中,由cosA=-24,可得sinA=144.又由sinaA=sincC及a=2,c=2,可得sinC=74.由a2=b2+c2-2bccosA,得b2+b-2=0.因为b0,故解得b=1,所以sinC=74,b=1.(2)由cosA=-24,sinA=144,得cos2A=2cos2A-1=-34,sin2A=2sinAcosA=-74.所以cos(2A+π3)=cos2Acosπ3-sin2A·sinπ3=3218.【例4】已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;(2)若m⊥p,c=2,角C=π3,求△ABC的面积.名师导引:(1)根据向量的坐标运算,结合正弦定理可证;(2)由向量的坐标运算,结合余弦定理求解.(1)证明:∵m∥n,∴asinA=bsinB,即a·2aR=b·2bR,其中R是△ABC的外接圆半径,∴a=b,∴△ABC为等腰三角形.(2)解:∵m⊥p,∴a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab.由余弦定理可知,c2=a2+b2-2abcosπ3=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=4,∴(ab)2-3ab-4=0.∴ab=4或ab=-1(舍去).∴S=12absinC=12×4×sinπ3=3.即△ABC的面积为3.规律方法以三角形为载体,以正、余弦定理为工具,以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中的一类热点题型.在具体解题中,除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外,也要根据条件,合理选用三角函数公式,达到简化解题的目的.题型四利用正、余弦定理解决实际应用问题【例5】(2013福建师大附中期中)攀岩运动是一项刺激而危险的运动.示意图如图所示,点A、C分别为两名攀岩者所在位置,点B为山的拐角处,且斜坡AB的坡角为θ,点D为山脚,某人在地面上的点E处测得A、B、C的仰角为α、β、γ,ED=a,求:(1)点B、D间的距离及点C、D间的距离;(2)在点A处攀岩者距地面的距离h.解:(1)根据题意得∠CED=γ,∠BED=β,∠AED=α,在直角三角形CED中,tanγ=CDDE,CD=atanγ,在直角三角形BED中,名师导引:(1)如何求BD、CD?(分别在Rt△BDE、Rt△CDE中求BD、CD)(2)在△ABE中,∠AEB、∠EAB分别等于多少?(∠AEB=α-β,∠EAB=π-(α+θ))(3)要求h,应先求哪个量?如何求?(应先求AE,在△ABE中应用正弦定理求解)tanβ=BDDE,BD=atanβ.(2)易得AE=sinh,BE=cosa,在△ABE中,∠AEB=α-β,∠EAB=π-(α+θ),由正弦定理得sinBEEAB=sinAEEBA得AE=sinsinBE=sincossina.∴h=sinsincossina.规律方法解决实际问题的关键是根据问题所提供的信息画出图形,建立数学模型,通过解三角形,得到距离或角度,然后根据距离或角度与其他知识的联系,运用相应的数学思想和方法求解.点击进入检测试题