必修五不等式

第1面第六、七讲不等式不等式与不等关系题型一：不等式的性质1.对于实数cba,,中，给出下列命题：①22,bcacba则若；②babcac则若,22；③22,0bababa则若；④baba11,0则若；⑤baabba则若,0；⑥baba则若,0；⑦bcbacabac则若,0；⑧11,abab若，则0,0ab。其中正确的命题是______题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2.设2a，12paa，2422aaq，试比较qp,的大小3.比较1+3logx与)10(2log2xxx且的大小4.若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,,的大小关系是.（一）解不等式题型三：解不等式5.解不等式6.解不等式2(1)(2)0xx。7.解不等式25123xxx8.不等式2120axbx的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=_____,b=_______9.关于x的不等式0bax的解集为),1(，则关于x的不等式02xbax的解集为10.解关于x的不等式2(1)10axax题型四：恒成立问题11.关于x的不等式ax2+ax+1＞0恒成立，则a的取值范围是_____________12.若不等式22210xmxm对01x的所有实数x都成立，求m的取值范围.13.已知0,0xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。（三）基本不等式2abab题型五：求最值14.（直接用）求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12x2（2）y＝x＋1x15.（配凑项与系数）（1）已知54x，求函数14245yxx的最大值。（2）当时，求(82)yxx的最大值。16.（耐克函数型）求2710(1)1xxyxx的值域。注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()afxxx的单调性。第2面17.（用耐克函数单调性）求函数2254xyx的值域。18.（条件不等式）（1）若实数满足2ba，则ba33的最小值是.（2）已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。（3）已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.（4）已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.题型六：利用基本不等式证明不等式19.已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba22220.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc21.已知a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc题型七：均值定理实际应用问题：22.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。（四）线性规划题型八：目标函数求最值23.满足不等式组0,087032yxyxyx，求目标函数yxk3的最大值24.已知实系数一元二次方程2(1)10xaxab的两个实根为1x、2x,并且102x,22x．则1ba的取值范围是25.已知,xy满足约束条件：03440xxyy,则222xyx的最小值是26.已知变量230,330.10xyxyxyy满足约束条件若目标函数zaxy（其中a0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为。27.已知实数xy，满足121yyxxym，，．如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于（）题型九：实际问题28.某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？第3面复习――不等式的基本知识参考答案高中数学必修内容练习---不等式1.②③⑥⑦⑧；2.pq；3.当01x或43x时，1+3logx＞2log2x；当413x时，1+3logx＜2log2x；当43x时，1+3logx＝2log2x4.∵1ba∴0lg,0lgba21Q（pbabalglg)lglgQababbaRlg21lg)2lg(∴RQP。5.6.{|1xx或2}x；7.(1,1)(2,3)）；8.不等式2120axbx的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=___-6____,b=__6_____9.),2()1,(）.10.解：当a＝0时，不等式的解集为1xx；2分当a≠0时，a(x－a1)(x－1)＜0；当a＜0时，原不等式等价于(x－a1)(x－1)＞0不等式的解集为11xxxa或；...............................................................................6分当0＜a＜1时，1＜a1，不等式的解集为11xxa；.............................................8分当a＞1时，a1＜1，不等式的解集为11xxa；..................................................10分当a＝1时，不等式的解为φ．............................................................................................12分11._____0≤x＜4________12.12m）13.,16m14.解：（1）y＝3x2＋12x2≥23x2·12x2＝6∴值域为[6，+∞）（2）当x＞0时，y＝x＋1x≥2x·1x＝2；当x＜0时，y＝x＋1x=－（－x－1x）≤－2x·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）15.（1）解5,5404xx，11425434554yxxxx231当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。（2）当，即x＝2时取等号当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。16.解析一：当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt）当,即t=时,4259ytt（当t=2即x＝1时取“＝”号）。17.解：令24(2)xtt，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。18.（条件不等式）（1）解：ba33和都是正数，ba33≥632332baba当ba33时等号成立，由2ba及ba33得1ba即当1ba时，ba33的最小值是6．第4面（2）解：190,0,1xyxy，1991061016yxxyxyxyxy当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy（3）解：x1＋y2＝x2·1＋y22＝2x·12＋y22下面将x，12＋y22分别看成两个因式：x·12＋y22≤x2＋(12＋y22)22＝x2＋y22＋122＝34即x1＋y2＝2·x12＋y22≤342（4）解：法一：a＝30－2bb＋1，ab＝30－2bb＋1·b＝－2b2＋30bb＋1由a＞0得，0＜b＜15令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2t2＋34t－31t＝－2（t＋16t）＋34∵t＋16t≥2t·16t＝8∴ab≤18∴y≥118当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥22ab令u＝ab则u2＋22u－30≤0，－52≤u≤32∴ab≤32，ab≤18，∴y≥11819.已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba22220.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc21.已知a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc证明：a、b、cR，1abc。1121abcbcaaaa。同理121acbb，121abcc。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1112221118bcacababcabc。当且仅当13abc时取等号。22.解：若设污水池长为x米，则宽为（米）水池外圈周壁长：（米）中间隔墙长：（米）池底面积：200（米2）目标函数：≥23.424.)21,3(25.126.),21(。27.528.解：设一盒內放入x个豆沙月饼，y个凤梨月饼，利润为z元则x，y必须满足，目标函数为z＝15x＋10y在可行区內的顶点附近z＝f(x，y)的最大值，所以，一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼，可得最大利润110元。第5面