高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解

(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射集合A，B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A→B的映射f:(x,y)→(x2+y2,xy)，求象(5，2)的原象.3.已知集合A到集合B＝｛0，1，2，3｝的映射f:x→11x，则集合A中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A.2、函数。构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是（）A、xxgxxflg2)(,lg)(2B、)1lg()1lg()(,11lg)(xxxgxxxfC、vvvguuuf11)(,11)(D、f（x）=x，2)(xxf2、}30|{},20|{yyNxxM给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（）A、0个B、1个C、2个D、3个二、函数的解析式与定义域函数解析式的七种求法待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例1设)(xf是一次函数，且34)]([xxff，求)(xf配凑法：已知复合函数[()]fgx的表达式，求()fx的解析式，[()]fgx的表达式容易配成()gx的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()fx的定义域不是原复合函数的定义域，而是()gx的值域。例2已知221)1(xxxxf)0(x，求()fx的解析式三、换元法：已知复合函数[()]fgx的表达式时，还可以用换元法求()fx的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。xxxx1211122211112222yyyy3OOOO例3已知xxxf2)1(，求)1(xf四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称，求)(xg的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例5设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf例6设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又,11)()(xxgxf试求)()(xgxf和的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例7已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例8设)(xf是N上的函数，满足1)1(f，对任意的自然数ba,都有abbafbfaf)()()(，求)(xf1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；6.（05江苏卷）函数20.5log(43)yxx的定义域为2求函数定义域的两个难点问题（1）()x已知f的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。（2）(21)xx已知f－的定义域是[-1,3],求f()的定义域例2设2()lg2xfxx，则2()()2xffx的定义域为__________变式练习：24)2(xxf，求)(xf的定义域。三、函数的值域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且x∈R的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；⑦利用对号函数⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1．（直接法）2123yxx2．2()2242fxxx3．（换元法）12xxy4.（Δ法）432xxy5.11y22xx6.(分离常数法)①1xxy②31(24)21xyxx7.(单调性)3([1,3])2yxxx8.①111yxx，②11yxx9．(图象法)232(12)yxxx10．(对勾函数)82(4)yxxx11.(几何意义)21yxx四．函数的奇偶性1．定义:2.性质：①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系1已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数.当)0,(x时，4)(xxxf，则当),0(x时，)(xf.2已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围；3已知)(xf在（－1，1）上有定义，且满足),1()()()1,1(,xyyxfyfxfyx有证明：)(xf在（－1，1）上为奇函数；4若奇函数))((Rxxf满足1)2(f，)2()()2(fxfxf，则)5(f_______五、函数的单调性1、函数单调性的定义：2设xgfy是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则xgfy在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则xgfy在M上是增函数。2例函数)(xf对任意的Rnm,，都有1)()()(nfmfnmf，并且当0x时，1)(xf，⑴求证：)(xf在R上是增函数；⑵若4)3(f，解不等式2)5(2aaf3函数)26(log21.0xxy的单调增区间是________4(高考真题)已知(31)4,1()log,1aaxaxfxxx是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（A）(0,1)（B）1(0,)3（C）11[,)73（D）1[,1)7一：函数单调性的证明1.取值2，作差3，定号4，结论二：函数单调性的判定，求单调区间322xxy322xxy452xxy3212xxy)23(log22xxyxxy4221xxy21251212xxyxaxy（0a）xaxy（0a）三：函数单调性的应用1.比较大小例：如果函数cbxxxf2)(对任意实数t都有)2()2(tftf，那么A、)4()1()2(fffB、)4()2()1(fffC、)1()4()2(fffC、)1()2()4(fff2.解不等式例：定义在（－1，1）上的函数()fx是减函数，且满足：(1)()fafa，求实数a的取值范围。例：设是定义在上的增函数，，且，求满足不等式的x的取值范围.3.取值范围例:函数在上是减函数,则的取值范围是_______．例：若(31)41()log1aaxaxfxxx是R上的减函数，那么a的取值范围是（）A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)74.二次函数最值例：探究函数12)(2axxxf在区间1,0的最大值和最小值。例：探究函数12)(2xxxf在区间1,aa的最大值和最小值。5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(xf的定义域是),0(，当1x时，0)(xf，且)()()(yfxfxyf⑴求)1(f，⑵证明)(xf在定义域上是增函数⑶如果1)31(f，求满足不等式)21()(xfxf≥2的x的取值范围例：已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．例：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)－2.六．函数的周期性：1．（定义）若)0)(()(TxfTxf)(xf是周期函数，T是它的一个周期。说明：nT也是)(xf的周期（推广）若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期对照记忆()()fxafxa说明：()()faxfax说明：2．若)()(xfaxf；)(1)(xfaxf；)(1)(xfaxf；则)(xf周期是2a1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为(A)－1(B)0(C)1(D)22定义在R上的偶函数()fx，满足(2)(2)fxfx，在区间［-2,0］上单调递减，设(1.5),(2),(5)afbfcf，则,,abc的大小顺序为_____________3已知f(x)是定义在实数集上的函数，且,32)1(,)(1)(1)2(fxfxfxf若则f(2005)=.4已知)(xf是(-，)上的奇函数，)()2(xfxf，当0x1时，f(x)=x，则f(7.5)=________例11设)(xf是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足)()2(xfxf，当]2,0[x时22)(xxxf⑴求证：)(xf是周期函数；⑵当]4,2[x时，求)(xf的解析式；⑶计算：七．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1、已知函数54)(2mxxxf在区间),2[上是增函数，则)1(f的范围是（）（A）25)1(f(B)25)1(f(C)25)1(f(D)25)1(f2、方程0122mxmx有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是_______八．指数式与对数式1．幂的有关概念(1)零指数幂)0(10aa(2)负整数指数幂10,nnaanNa(3)正分数指数幂0,,,1mnmnaaamnNn；(5)负分数指数幂110,,,1mnmnmnaamnNnaa(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.2．有理数指数幂的性质10,,rsrsaaaarsQ20,,srrsaaarsQ30,0,rrrabababrQ3．根式根式的性质:当n是奇数，则aann；当n是偶数，则00aaaaaann4．对数(1)对数的概念:如果)1,0(aaNab,那么b叫做以a为底N的对数,记)1,0(logaaNba(2)对数的性质：①零与负数没有对数②01loga③1logaa(3)对数的运算性质logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(logloglogmmaaNaNNmma且且对数的降幂公式：)10,0(loglogaaNNmnNanam且(1)213323121)()1.0()4()41(baab(2)1.0lg10lg5lg2lg125lg8lg十．指数函数与对数函数1、指数函数y=ax与对数函数y=logax(a0,a