正弦定理和余弦定理-知识点及典型例题

第页1正弦定理和余弦定理要点梳理1．正弦定理其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．三角形面积公式S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3．余弦定理：222222222abc2bccosAbac2accosBcab2abcosC＝＋－，＝＋－，＝＋－.余弦定理可以变形为：cosA＝222bca2bc，cosB＝222acb2ac，cosC＝222abc2ab.4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．基础自测1．在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝.2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a＝________.3．在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝910，则BC＝________.4．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为()A．22B．82C.2D.22题型分类深度剖析题型一利用正弦定理求解三角形例1在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A、C和边c.2sinsinsinabcRABC第页2变式训练1已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则A＝题型二利用余弦定理求解三角形例2在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝b2ac.（1）求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．变式训练2已知A、B、C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a、b、c，且2A2cos+cosA=02.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．题型三正、余弦定理的综合应用例3.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边2222(sinsin)()sin,ACabB已知△ABC外接圆半径为2.（1）求角C的大小；（2）求△ABC面积的最大值.变式训练3在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π3，且△ABC的面积为3，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．例4设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosC＋12c＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．