直线与圆的方程高考复习

1直线与圆的方程【考试大纲要求】1．理解直线的斜率的概念，掌握两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．4．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．5．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.6．掌握直线与圆的位置关系的判断方法，能利用直线和圆的位置关系解决相关问题.【高考命题走向】从近几年的全国高考新课程高考试题分析研究来看，可以预测今后涉及本单元知识点的题目，仍会以基本题型为主，侧重于考查对基础知识的掌握、基本数学思想方法的灵活运用，一般难度不会太大．另一方面，本单元与其他章节的知识点综合题仍将是今后的热点、重点、难点，也可能会出现探索开放、新颖别致的实际应用题目，特别应注意解析与平面向量知识、导数等新知识综合题目可能会出现在今后高考题中．直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程．解直线与圆的问题,要尽量充分地利用平面几何中圆的性质,利用几何法解题要比解析方法来得简捷.预测2010年对本讲的考察是：（1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向；（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程．【基础知识归纳】1．直线方程（1）直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0．可见，直线倾斜角的取值范围是：0180.（2）直线的斜率倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即)90(tank.倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，斜率的取值范围是（－∞，+∞）.2(3)直线的方向向量设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量21FF=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量向量121xx21FF=（1，1212xxyy）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.特别地，垂直于x轴的直线的一个方向向量为a＝(0,1).说明：直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜程度的．每一条直线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条直线都有斜率，要注意三者之间的内在联系．（4）直线方程的五种形式点斜式：)(00xxkyy，(斜率存在)斜截式：bkxy(斜率存在)两点式：121121xxxxyyyy，(不垂直坐标轴)截距式：1byax(不垂直坐标轴,不过原点)一般式：0CByAx.引申：过直线1111:0lAxByC,2222:0lAxByC交点的直线系方程为：111222()0AxByCAxByC（λ∈R）(除l2外)．2．两条直线的位置关系（1）直线与直线的位置关系存在斜率的两直线111:lykxb；222:lykxb.有：①12ll12kk且12bb；②12ll121kk；③1l与2l相交12kk；3④1l与2l重合12kk且12bb.一般式的直线1111:0lAxByC,2222:0lAxByC.有①12ll12210ABAB；且12210BCCB;②12ll12120AABB;③1l与2l相交12210ABAB;④1l与2l重合12210ABAB；且12210BCCB（2）点与直线的位置关系若点00(,)Pxy在直线0CByAx上，则有000AxByC；若点00(,)Pxy不在直0CByAx上，则有000AxByC，此时点00(,)Pxy到直线0CByAx的距离为2200BACByAxd．平行直线10AxByC与20AxByC之间的距离为2221BACCd．（3）两条直线的交点直线1111:0lAxByC,2222:0lAxByC的公共点的坐标是方程11122200AxByCAxByC的解相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解.重合方程组有无数解.3．曲线与方程(1)“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）4以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.(2)求曲线方程的一般步骤：①建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；②写出适合条件P的点M的集合；③用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)=0；④化方程(,)0fxy为最简形式；⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点新疆学案王新敞(3)求曲线方程常用方法:直接法,定义法,参数法,相关点法,待定系数法.(4)曲线交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．(5)由方程画曲线(图形)的步骤：①化简方程,讨论曲线性质(对称性,趋势等)；②讨论曲线的范围；求截距,或用反解法求出x、y的取值范围;③列表;④描点、连线．(6)解析几何的本质用代数的方法研究图形的几何性质,即:根据已知条件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质.这也是解析几何中的两个基本问题．4.圆的方程(1)圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件:如三个点,半径和圆心(两个坐标)等.(2)圆的方程标准式：222()()xaybr，其中r为圆的半径，(,)ab为圆心．一般式：220xyDxEyF（2240DEF）.其中圆心为,22DE，半径为22142DEF参数方程:cossinxryr，cos(sinxarybr是参数）.消去θ可得普通方程5.点与圆的位置关系判断点(,)Pxy与圆2()xa22()ybr的位置关系代入方程看符号.56.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交.有两种判断方法：（1）代数法：（判别式法）0,0,0时分别相离、相交、相切.（2）几何法：圆心到直线的距离,,drdrdr时相离、相交、相切.7．弦长求法（1）几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则2222ldr．（2）解析法：用韦达定理，弦长公式.8．圆与圆的位置关系看|O1O2|与22rr和|22rr|的大小关系.【典型例题解析】题型1：直线的倾斜角【例1】（07·上海）直线014yx的倾斜角．【答案】4arctanπ【解析】直线014yx可化为14xy，），（　2,4tank4arctanπ．题型2：直线的斜率【例2】（08·安徽卷）若过点(4,0)A的直线l与曲线22(2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．[3,3]B．(3,3)C．33,33D．33,33【答案】C【解析】记圆心为(2,0)D,记上、下两切点分别记为BC、，则630BADCAD，∴l的斜率00tan150,tan30,k即33,33k.（图9-1-1）题型3直线的方程【例3】（07·浙江）直线210xy关于直线1x对称的直线方程是（）Ａ．210xyＢ．210xyＣ．230xyＤ．230xy【答案】D【解析】(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于1x对称点为(2-x,y)在直线210xy上,即0122yx，化简得答案D.题型4：直线方程的综合题【例4】（08·江苏卷）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设a,b,c,p均为非零实数，直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F，一同学已正确算的OE的方程：11110xybcpa，请你求OF的方程：___________________.【答案】11110xycbpa【解析】如图9-1-2.（图9-1-2）直线AB的方程为1aybx①yxOBAFEPC7直线CP的方程为1pycx②②-①得11110xycbpa，直线AB与CF的交点F坐标满足此方程，原点O的坐标也满足此方程，所以OF的方程为11110xycbpa.若敢于类比猜想，交换x的系数中b、c的位置，便很快可得结果.题型5：直线与直线的位置关系【例5】（06·福建）已知两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则a等于()A．2B．1C．0D．1【答案】D【解析】两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则(2)1aa，∴a=－1，选D.题型6：点与直线的位置关系【例6】（06·湖南）圆224xyx4100y上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是()A．36B.18C.26D.25【答案】C【解析】圆0104422yxyx的圆心为(2，2)，半径为32，圆心到直线014yx的距离为|2214|25232，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=62，选C.题型7：平行线间的距离【例7】（07·四川）如图，1l、2l、3l是同一平面内的三条平行直线，1l与2l间的8距离是1，2l与3l间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在1l、2l、3l上，则△ABC的边长是()A．23B．364C．3174D．2213【答案】D【解析】过点Ｃ作2l的垂线（图9-1-3）4l，以2l、4l为x轴、y轴建立平面直角坐标系．设(,1)Aa、(,0)Bb、(0,2)C，由ABBCAC知222()149abba边长2，检验A：222()14912abba，无解；检验B：22()14abb23293a，无解；检验D：22()14abb22893a，正确.题型8：动点的轨迹方程【例8】（07·四川）已知O的方程是2220xy，'O的方程是22xy8100x，由动点P向O和'O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是__________________.【答案】32x【解析】O：圆心(0,0)O，半径2r；'O：圆心'(4,0)O，半径'6r．设(,)Pxy，由切线长相等得222xy2238102xyxx．【例9】（08·上海）如图9-1-4，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆9的四等分点．若点()Pxy，、点()Pxy，满足xx≤且yy≥，则称P优于P．如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧()Ａ．弧ABB．弧BCC．弧CDD．弧DA（图9-1-4）【答案】D【解析】分别在弧AB、弧BC、弧CD、弧DA上任意取一点Q，只有在弧DA上的点Q满足不存在中的其它点优于Q，故选D．【例10】（06·北京）平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是()A．一条直线B．一个圆C