数学极限的求法

1数学极限的求法常见:夹逼准则,无穷小量的性质,两个重要极限，等价无穷小，洛必达法则,中值定理,定积分,泰勒展开式。后四种不常见。另外求代数式极限可参见课本P48上。证明极限用定义证。1：利用等价无穷小代换求极限当x趋于0时等价，例如x～xsin～xtan～xarcsin～xarctan～)1ln(x～1xexnxaxxxxxxxxxxna1~,~1)1(,21~cos1,~arcsin,~tan,~sin2当上面每个函数中的自变量x换成)(xg时（0)(xg），仍有上面的等价关系成立，例如：当0x时，13xe～x3；)1ln(2x～2x。例：求4303lim(sin)2xxxx解：sin22xx4303lim(sin)2xxxx＝4303lim()2xxxx＝4330lim8xxxx＝82：利用极限的四则运算性质求极限进行恒等变形，例如分子分母约去趋于零但不等于零的因式；分子分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。例；求极限2(1)2211lim21xxxx(2)312lim3xxx(3)3113lim()11xxx(4)已知111,1223(1)nxnn求limnnx解：(1)2211lim21xxxx＝1(1)(1)lim(1)(21)xxxxx=11lim21xxx＝23(2)（2）＝3(12)(12)lim(3)(12)xxxxx＝33lim(3)(12)xxxx＝14(3)3113lim()11xxx＝2312lim1xxxx＝21(1)(2)lim(1)(1)xxxxxx＝212lim1xxxx＝-1(4)因为111,1223(1)nxnn111111111122334411nnn11n所以1limlim(1)1nnnxn3：利用两个重要极限公式求极限(1)0sin1limlimsin1xxxxxx(2)101lim(1)lim(1)xxxxxex例：求下列函数的极限[4](1)230limlimcoscoscoscos2222nnnxxxx3(2)22lim(1)mmnm（3）)1,0(,)(lim10aaaxxxx解：(1)23coscoscoscos2222nxxxx＝231sincoscoscoscossin222222sin2nnnxxxxxxx＝1sin2sin2nnxx23limcoscoscoscos2222nnxxxx＝1limsin2sin2nnnxxsin=lim2sin2nnnxx＝sinxx230limlimcoscoscoscos2222nxnxxxx＝0limxsinxx＝1(2)22lim(1)mmnm＝22222()2lim(1)mnmnmmnm＝2222()2lim(1)mnmnmnm＝0e＝1（3）xxxxaa10)1(limxxaxaxxxaa10)1(limxxxaxaxxxaa0lim10])1(lim[aeea1.4.利用两个准则求极限。(1)夹逼准则：若一正整数N,当nN时，有nxnynz且4limlim,nnxxxza则有limnxya.利用夹逼准则求极限关键在于从nx的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列ny和nz，使得nnnyxz。例1.222111.......12nxnnnn,求nx的极限解：因为nx单调递减，所以存在最大项和最小项2222111.......nnxnnnnnnnn2222111.......1111nnxnnnn则221nnnxnnn又因为22limlim11xxnnnnnlim1nxx（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例：[1]证明下列数列的极限存在，并求极限。123,,,,nyayaayaaayaaaa证明：从这个数列构造来看ny显然是单调增加的。用归纳法可证。又因为21321,,,nnyayyayyay所以得21nnyay.因为前面证明ny是单调增加的。5两端除以ny得1nnayy因为1,nyya则naay,从而11naay1naya即ny是有界的。根据定理ny有极限，而且极限唯一。令limnnyl则21limlim()nnnnyya则2lla.因为0,ny解方程得1412al所以141lim2nnayl5：洛必达法则求极限：洛必达法则只能对00或型才可直接使用，其他待定型如00,1,0,,0必可以化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则//()lim()fxgx=()lim()fxgx=A.0可以通过011000或，通分化为0000101，后面两个幂的形式通过取对数来变化。例[1]：(1)求0lnsinlimlnsinxmxnx(2)求0limxxx解：(1)由00limlnsinlimlnsinxxmxnx6所以上述极限是待定型，则0lnsinlimlnsinxmxnx＝0cossinlimcossinxmmxnxnnxmx＝0sinlimsinxmnxnmx＝1(2)0limxxx它为00型由对数恒等式可得lnxxxxe0limxxx=0limlnxxxe00lnlimlnlim01xxxxxx0limxxx＝01e如果//()lim()fxgx不存在时，并不能断定()lim()fxgx也不存在，只是这时不能用洛必达法则。例xxxxxcos3sin2lim解：该极限是“00”型，但用洛比达法则后得到：xxxsin3cos21lim，此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式=xxxxxcos3sin21lim（分子、分母同时除以x）=316：利用单侧极限相等求极限用于求分段函数在分段点处的极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。7例：x0x021sin,()1,xfxxx求f(x)在x=0的左右极限解：01limsinxxx＝101limsinxxx＝100lim()lim()1xxfxfx0lim()1xfx7：利用函数的连续性求极限用于直接将值带入函数或求复合函数的极限。如果u=g(x)在点0x连续g(0x)=0u,而y=f(u)在点0x连续，那么复合函数y=f(g(x))在点0x连续。即000lim(())(())(lim())xxxxfgxfgxfgx，极限号0limxx可以与符号f互换顺序。例：求1limln(1)xxx解：令y＝uln,则xxu)11(因为uln在点01limln(1)xxuex处连续所以1limln(1)xxx＝1lnlim(1)xxx＝lne＝18：利用无穷小量的性质求极限：8可以处理一个有界函数和无穷小的乘积是无穷小类的问题。例：求sinlimxxx解：因为sin1x1lim0xx所以sinlimxxx＝09：换元法求极限：当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。例：[3]求11limlnxxxxx解：令1xtx则lnln(1)xt11limlnxxxxx＝0limln(1)ttt＝01limln(1)ttt＝1例),(11lim1Nnmxxmnx.解（变量替换法）令mnxt，则当1x时，.1t于是,原式nmttttttttttnmtnmt)1)(1()1)(1(lim11lim121211.例xxxx)1(lim.解（变量替换法）令txtx,,，原式tttttttttt)11(lim)1(lim22tttt])11()11[(lim11ttttt)11()11(lim101eee.910：利用中值定理求极限：1：微分中值定理：若函数f(x)满足(i)在,ab连续.(ii)在(a,b)可导则在(a,b)内至少存在一点，使)()()()(fabafbf，或abafbff)()()(例[2]：求30sin(sin)sinlimxxxx解：01sin(sin)sin(sin)cos(sin)xxxxxxx30sin(sin)sinlimxxxx＝30(sin)cos(sin)limxxxxxxx＝20cos1cos0lim3xxx＝0sinlim6xxx＝162：积分中值定理：设函数f(x)在闭区间,ab上连续;g(x)在,ab上不变号且可积，则在,ab上至少有一点使得()()()()bbaafxgxfgxdxab例：求40limsinnnxdx解：40limsinnnxdx＝lim(0)4nnsix0410＝lim(sin)4nn011：利用泰勒展开式求极限泰勒展开式：若f(x)在x=0点有直到n+1阶连续导数,那么///2()()(0)(0)()2!!nnnfxfxfxffxxxRxn11()()(1)!nnnfRxxn(其中在0与1之间)例：12240coslimxxxex解：泰勒展开式244cos10()2!4!xxxx222242110()22!2xxxex于是cosx-22xe＝4410()12xx所以2240coslimxxxex＝0limx44410()12xxx＝11212：利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在0x附近有定义，,x则00()()yfxxfx如果0000()()limlimxxfxxfxyxx存在，则此极限值就称函数f(x)在点0x的导数，记为/0()fx.即/0000()()()limxfxxfxfxx在这种方法的运用过程中。首先要选好f(x)。然后把所求极限。表示成f(x)在定点0x的导数。11例：求2lim()22xxctgx解：取f(x)=2tgx.则22211lim()222lim2(2)2lim22xxxxctgxtgxtgxtgxx＝2()()2lim2xfxfx＝/1()2f＝21(2sec2)2xx＝1213：利用定积分求和式的极限利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间,ab上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。例：求2222221lim12(1)nnnnnnnnn解：由于222222112(1)nnnnnnnn＝222111111211111nnnnn可取函数