几何体中的截面问题

1STFECABDA1C1B1D1QPRCA1DBAC1B1D1QPRMIC1B1D1CA1DBAPQR几何体中的的截面问题1．定义及相关要素用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线．此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点．2．作多面体的截面方法(交线法)：该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面．题型一、截面的形状1．P、Q、R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1、CC1和DD1上，试画出过P、Q、R三点的截面．1解答：(1)连接QP、QR并延长，分别交CB、CD的延长线于E、F.(2)连接EF交AB于Ｔ，交AD于S．(3)连接RS、TP。则多边形PQRST即为所求截面。2．已知P、Q、R分别是四棱柱ABCD―A1B1C1D1的棱CD、DD1和AA1上的点，且QR与AD不平行，求作过这三点的截面．2解答：(1)连接QP并延长交DA延长线于点I。(2)在平面ABCD内连接PI交AB于点M。(3)连接QP、RM。则四边形PQRM即为所求。注：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。3．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是C1B1D1CABDA1PQRACBD23答案：D解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。题型二、截面面积、长度等计算4．过正方体1111DCBAABCD的对角线1BD的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则minmaxSS的值为()A．23B．26C．332D．3624答案：C解析：设M、N分别为AA1、CC1的中点.易证截面BMD1N是边长为52的菱形(正方体棱长设为1),其面积S(min)=62.而截面BB1D1D是矩形,其面积S(max)=2．5.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为．5答案：解析：平面ACD1是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径是×tan30°=，则所求的截面圆的面积是π××=．6．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1B．2C．3D．26答案：C解析：1O与2O的公共弦为AB，球心为Ｏ，AB中点为C，则四边形COOO21为矩形，12||||,OOOC||2,OA所以22||1,||||||3ACACOCOCOAAC7．已知正四棱锥P—ABCD的棱长都等于a,侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成二面角大小的正切值为．7答案：12Ｏ２ＯＣＯ23解析：过A在平面ABCD内作直线lBD，连接AC,BD交于O，连接PO，MN．记PO、MN交于O‘．因为PB、PD的中点分别为M、N，所以MN//BD，因为lBD，所以lMN，Al，所以l平面AMN，l平面AMN∩平面ABCD．易知OAO即为面AMN与底面ABCD所成二面角的平面角．221tan242AOPOaOOaOAO8．如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S。则下列命题正确的是_____①当102CQ时，S为四边形②当12CQ时，S为等腰梯形③当34CQ时，S与11CD的交点R满足1113CR④当314CQ时，S为六边形⑤当1CQ时，S的面积为628答案：①②③⑤解析：CQDTPQATPQATTDD22//1且，则相交于设截面与.对①，时当210.CQ,则.10DT所以截面S为四边形，且S为梯形.所以为真.对②,1=DT,21.时当CQ重合与1,DT，截面S为四边形.,11QDAPAPQD所以截面S为等腰梯形.所以为真.对③,时当43.CQ.31.21,23,411111RCTDDTQC利用三角形相似解得所以为真.对④,2DT23,143.时当CQ.截面S与线段1111CD,DA相交，所以四边形S为五边形.所以为假.对⑤,AGAPCGDASCCQ111111,Q1.即为菱形相交于中点与线段截面重合与时，当.对角线长度分别为.2632的面积为，和S所以为真.49．如图，1111DCBAABCD为正方体。任作平面与对角线CA垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（）A．S为定值，l不为定值B．S不为定值，l为定值C．S与l均为定值D．S与l均不为定值9答案:B解析:将正方体切去两个正三棱锥AABD与CDBC后，得到一个以平行平面ABD与DBC为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱AB剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形11ABBA，而多边形W的周界展开后便成为一条与1AA平行的线段（如图中1EE），显然11AAEE，故l为定值。当E位于AB中点时，多边形W为正六边形，而当E移至A处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为2324l与2336l，故S不为定值。题型三、截面图形的计数10．设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面()A.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个10答案：D解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m、n确定了平面β，作与β平行的平面α与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形．这样的平面α有无数多个．11．过正四面体ABCD的顶点A做一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD成75角，问这样的截面可作几个？11答案：6个．解析：可以证明正四面体的棱、侧面与底面成角均小于75度，这样过顶点与底面成75度角，且平行与底面一条边的截面也就是符合题意的截面，有两个。三条边就是6个。题型四、截面图形的性质12．如图4，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：5①水的部分始终呈棱柱状；②水面EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜到如图4（2）时，BE·BF是定值；其中正确的命题序号是______________12答案：①③④解析当长方体容器绕BC边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG，但EH与FG的距离EF在变，所以水面EFGH的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为BCBFBEV21水是定值，又BC是定值，所以BE·BF是定值，即④正确。13．有一容积为1立方单位的正方体容器ABCD-A1B1C1D1，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是A．21B．87C．1211D．484713答案：C解析：本题很容易认为当水面是过E、F、G三点的截面时容器可装水的容积最大图6（1），最大值为8712121211V立方单位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图6（2）△EB1C时容器的容积最大，最大容积为1211112121311V．14．(08年江西)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）。有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满其中真命题是：14答案：BD解析：a升水对应的体积为V，则正四棱锥的体积2V，正四棱柱的体积为522VVVVABCHA1B1C1D1EFGDABCDA1B1C1D1EFGH图4（2）图4（1）C1ABCDA1D1B1EGF图（2）C1ABCDA1D1B1EGF图（1）PP图12图6容器的盛水量为2V．易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D正确，于是A错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P，故B正确；C的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面。