必修五不等式专题复习

1《不等式》专题复习知识回顾一．不等式的主要性质：(1)对称性：(2)传递性：(3)加法法则：(同向可加)(4)乘法法则：(同向同正可乘)(5)倒数法则：(6)乘方法则：(7)开方法则：2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式二．解不等式1.一元二次不等式00或022acbxaxcbxax的解集：2、简单的一元高次不等式的解法：（穿根法）其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶不过；（3）根据曲线显现()fx的符号变化规律，写出不等式的解集。如：xxx1120233、分式不等式的解法（转化为常规不等式）()()0()()0()()0;0()0()()fxgxfxfxfxgxgxgxgx注意：右边不是零时，先移项再通分，化为上两种情况再处理4、不等式的恒成立问题：应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题2若不等式Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上minfxA若不等式Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上maxfxB三、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：定点法3、线性规划的有关概念：①线性约束条件②线性目标函数③线性规划问题④可行解、可行域和最优解：4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解四．均值不等式1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.2．如果a,b是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba变形：①a+b≥ab2；②ab≤22ba,当且仅当a=b时取等号.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”3.常用不等式有：（1）2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（2）a、b、cR，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；（3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题）。典例剖析题型一：不等式的性质1.对于实数cba,,中，给出下列命题：①22,bcacba则若；②babcac则若,22；3③22,0bababa则若；④baba11,0则若；⑤baabba则若,0；⑥baba则若,0；⑦bcbacabac则若,0；⑧11,abab若，则0,0ab。其中正确的命题是______题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2.设2a，12paa，2422aaq，试比较qp,的大小3.比较1+3logx与)10(2log2xxx且的大小4.若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,,的大小关系是.题型三：解不等式5.解不等式6.解不等式2(1)(2)0xx。7.解不等式25123xxx8.不等式2120axbx的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=_____,b=_______9.关于x的不等式0bax的解集为),1(，则关于x的不等式02xbax的解集为______410.解关于x的不等式2(1)10axax题型四：恒成立问题11.关于x的不等式ax2+ax+1＞0恒成立，则a的取值范围是_____________12.若不等式22210xmxm对01x的所有实数x都成立，求m的取值范围.13.已知0,0xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。三．基本不等式题型五：求最值14.（直接用注正数）求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12x2（2）y＝x＋1x15.（配凑项）（1）已知54x，求函数14245yxx的最大值。（2）当时，求(82)yxx的最大值。516.求2710(1)1xxyxx的值域。注意：在应用均值不等式求最值时，若等号取不到，应结合函数()afxxx的单调性。17.求函数2254xyx的值域。18.（条件不等式）（1）若实数满足2ba，则ba33的最小值是.（2）已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。（3）已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.（4）已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.题型六：利用基本不等式证明不等式19、已知a,b都是正数，并且ab，求证：a5+b5a2b3+a3b2619.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc16．（12分）设a0,b0，且a+b=1，求证：225)1()1(22bbaa．题型七：均值定理实际应用问题：20.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。四.线性规划题型八：目标函数求最值21.满足不等式组0,087032yxyxyx，求目标函数yxk3的最大值722、已知实系数一元二次方程2(1)10xaxab的两个实根为1x、2x,并且102x,22x．则1ba的取值范围是23、已知,xy满足约束条件：03440xxyy,则222xyx的最小值是24、已知变量230,330.10xyxyxyy满足约束条件若目标函数zaxy（其中a0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为。25、已知实数xy，满足121yyxxym，，．如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于（）8题型九：实际应用22.某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？易错点剖析1、抓住两边结构进行合理转化抓住两边结构进行转化是不等式应用的重要一环，根据结论与条件，要想促使结论与条件的“沟通”，必须仔细分析结构特点，选用恰当的不等式或变式；例1、正数a、b满足ba=1，)1)(1(ba的最大值。分析（1）本题是求“积”的最大值，常规是向“和”或“平方和”转化，并根据“和”或“平方和”是否是定值，做出选择。（2）要利用ba=1，就必须去掉根号，因此要向“平方和”转化，那么应用变式①也就顺理成章了。9解：∵232)1()1()1)(1(baba，当且仅当1)1()1(baba即21ba时取得“=”。∴)1)(1(ba的最大值是23例2、已知正数a、b满足ba=1，求22)1()1(ba最小值；分析：将条件与结论放在一起，可以看出，要想从条件式推出结论式，必须完成从“和”向“平方和”的转化；若从结论入手转化，再利用条件，就必须完成从“平方和”向“和”的转化。显然，不管是由条件推出结论还是由结论转化再利用条件，都离不开变式④。解：∵)(222baba，∴])1()1[(2)1()1(22baba3])1()1[(222ba29)1()1(22ba，当且仅当21ba时取得“=’。∴22)1()1(ba最小值是29。注：转化中必要的“技术处理”对均值不等式的应用，除了要会从结构入手分析外，必要的“技术处理”还必须掌握如：“配系数”（将“x”写成“x221”或“x212”）；“拆项”（将“1332xxx”写成“111)1(xx”）；“加、减凑项”（将“x”写成“1)1(x”）；“升降幂”（2)(,0aaa）等都是常用的“技术处理”方法。例3、已知0,0ba，求证：baabba分析：从结构特点和字母的次数看与变式⑤吻合，可从此式入手。解：∵若b0,则baba22，∴baba2……①abab2……②∴由①+②baabba。例4、已知0ba求)(162baba的最小值。分析：本题求“和”的最小值，但“积”并不是定值，故需要进行“拆项”变形等“技术处理”，注意到abab)(，容易找到解题的突破口…解：由0ba44)]([)(22ababbab，于是)(162baba≥41622aa=166422aa，当且仅当2264aabab即2,22ba时取“=”∴)(162baba的最小值是16。10另外也可由)(162baba=2)]([bab)(16bab=…≥16)(16)(4babbab来求得此最小值。二、使用均值定理的注意事项（易错提醒）1、应用均值不等式求最值方便、快捷，但必须注意条件“一正、二定、三相等”，即涉及的变量都是正数，其次是和（平方和）为定值或积为定值，然后必须注意等号可以成立。如xx22sin4sin的最小值是5；但使用均值不等式容易误解为是4，因为xx22sin4sin不成立（不能取“=”）。2、在使用均值不等式时，要注意它们多次使用再相加相乘的时候，等号成立的条件是否一致。如例4，要保证两次均值不等式的取等条件相同（同时满足）。3、在使用均值定理求最值的时候，如果等号成立的条件不具备，应考虑用函数的单调性来解决。如求xx22sin4sin的最小值，可利用函数xxxf4)(的单调性来解决。三、应用举例：循序渐进，学会变型（配套训练）1.求1,1222xxxxy的最小值。（2）2.求1,2212xxxxy的最大值。（21）3.求函数12xxxy的值域。（[-1，31]）不等式专题检测一、选择题：1．若Rcba,,，且ba，则下列不等式一定成立的是（）A．cbcaB．bcacC.02bacD．0)(2cba2、若0ba，则下列不等关系中不能成立的是（）A．ba11B．aba11C．3131baD．3232ba3．若关于x的不等式mxx42对任意]1,0[x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．3mB．3mC．03mD．03mm或114．已知实数x,y满足x2＋y2＝1，则(1－xy)(1＋xy)有（）A．最小值21和最大值1B．最小值43和最大值1C．最小值21和最大值43D．最小值15．设x0,y0,yxyxa1,yyxxb11，a与b的大小关系（）A．abB．abC．abD．ab6．若关于x的不等式4104822xaxx在内有解，则实数a的取值范围是（）A．4aB．4aC．12aD．12a7．若)21,0(x时总有,0)21(log12xa则实数a的取值范围是(）A．1||aB．2||aC．2||aD．2||1a8．甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mn，甲、乙两人谁先到达指定地点（）