高中必修一函数全章知识点整理

1函数复习主要知识点一、函数的概念与表示1、映射（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是（）A、2163(),()fxxgxxB、1,0(),()1,0xxfxgxxxC、vvvguuuf11)(,11)(D、f（x）=x，2)(xxf2、}30|{},20|{yyNxxM给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（）A、0个B、1个C、2个D、3个二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）指数函数的底数必须大于零且不等于1；1.函数234yxx的定义域为2求函数定义域的两个难点问题（1）()x已知f的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。（2）(21)xx已知f－的定义域是[-1,3],求f()的定义域xxxx1211122211112222yyyy3OOOO2例2设12()(1)fxx，则(2)xf的定义域为__________变式练习：24)2(xxf，求)(xf的定义域。三．函数的奇偶性1．定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为偶函数。如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为奇函数。2.性质：①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系1、已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数.当)0,(x时，4)(xxxf，则当),0(x时，)(xf.2、已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围；3、若奇函数))((Rxxf满足1)2(f，)2()()2(fxfxf，则)5(f_______3四、函数的单调性1、函数单调性的定义：2设xgfy是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则xgfy在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则xgfy在M上是增函数。1判断函数)()(3Rxxxf的单调性。2函数2(62)12xxy的单调增区间是________3(高考真题)已知(31)4,1(),1xaxaxfxax是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（）（A）(0,1)（B）1(0,)3（C）11[,)63（D）1[,1)6五．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴abx2，顶点坐标)44,2(2abacab2．二次函数与一元二次方程关系一元二次方程)0(02acbxax的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)0y的x的取值。4一元二次不等式)0(02cbxax的解集(a0)二次函数△情况一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c(a0)△=b2-4acax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0(a0)图象与解△021xxxxx或21xxxx△=00xxx△0R1、已知函数54)(2mxxxf在区间),2[上是增函数，则)1(f的范围是（）（A）25)1(f(B)25)1(f(C)25)1(f(D)25)1(f2、方程0122mxmx有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是_______六．指数式1．幂的有关概念(1)零指数幂)0(10aa(2)负整数指数幂10,nnaanNa(3)正分数指数幂0,,,1mnmnaaamnNn；(5)负分数指数幂110,,,1mnmnmnaamnNnaa(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.52．有理数指数幂的性质10,,rsrsaaaarsQ20,,srrsaaarsQ30,0,rrrabababrQ3．根式根式的性质:当n是奇数，则aann；当n是偶数，则00aaaaaann(1)213323121)()1.0()4()41(baab十．指数函数名称指数函数一般形式y=ax(a1)y=ax(0a1)定义域(-∞,+∞)值域(0,+∞)过定点（０，1）图象单调性在(-∞,+∞)上为增函数在(-∞,+∞)上为减函数值分布X0时0y1,x0时，y1,x=0,y=1X0时y1,x0时，0y1,x=0,y=12.比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：2、研究指数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制3、指数函数中的绝大部分问题是指数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。1、（1）12253xyx的定义域为_______；（2）312xy的值域为_________；（3）2()2xxy的递增区间为___________，值域为___________62、（1）112042xx，则________x3、要使函数ayxx421在1,x上0y恒成立。求a的取值范围。〖2.2〗对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xaNaa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaNaaN．（2）几个重要的对数恒等式log10a，log1aa，logbaab．（3）常用对数与自然对数常用对数：lgN，即10logN；自然对数：lnN，即logeN（其中2.71828e…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么①加法：logloglog()aaaMNMN②减法：logloglogaaaMMNN③数乘：loglog()naanMMnR④logaNaN⑤loglog(0,)bnaanMMbnRb⑥换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数7函数名称对数函数定义函数log(0ayxa且1)a叫做对数函数图象1a01a定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()yfx的定义域为A，值域为C，从式子()yfx中解出x，得式子()xy．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子()xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy表示x是y的函数，函数()xy叫做函数()yfx的反函数，记作1()xfy，习惯上改写成1()yfx．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()yfx中反解出1()xfy；01xyO(1,0)1xlogayx01xyO(1,0)1xlogayx8③将1()xfy改写成1()yfx，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()yfx与反函数1()yfx的图象关于直线yx对称．②函数()yfx的定义域、值域分别是其反函数1()yfx的值域、定义域．③若(,)Pab在原函数()yfx的图象上，则'(,)Pba在反函数1()yfx的图象上．④一般地，函数()yfx要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函9数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qp（其中,pq互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则qpyx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若1x，其图象在直线yx下方．