2020年全国1卷-理科数学真题(pdf版含解析)

-1-2020年全国1卷理科数学真题（解析版）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.若z=1+i，则|z2–2z|=（）A.0B.1C.2D.2【答案】D【详解】由题得：2212zii，则222212zzii.故2222zz.故选：D.考点：复数的运算2.设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A.–4B.–2C.2D.4【答案】B【详解】由题得：2|2Axx，|2aBxx12a，解得：2a.故选：B.考点：集合的运算3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.514B.512C.514D.512【答案】C【详解】如图，设,CDaPEb，则22224aPOPEOEb，由题意212POab，即22142abab，化简得24()210bbaa，解得154ba（负值舍去）.故选：C.-2-考点：正四棱锥4.已知A为抛物线C:y2=2px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A.2B.3C.6D.9【答案】C【详解】设焦点为F，由题知||122ApAFx，即1292p，解得6p=.故选：C.考点：抛物线5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)iixyi得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A.yabxB.2yabxC.exyabD.lnyabx【答案】D【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，.故选：D.考点：散点图与曲线拟合6.函数43()2fxxx的图像在点(1(1))f，处的切线方程为（）A.21yxB.21yxC.23yxD.21yx【答案】B【详解】432fxxx，3246fxxx，11f，12f，-3-因此，所求切线的方程为121yx，即21yx.故选：B.考点：导数的几何意义与切线方程7.设函数()cosπ()6fxx在[π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2【答案】C【详解】由图可得：函数图象过点4,09，将它代入函数fx可得：4cos096又4,09是函数fx图象与x轴负半轴的第一个交点，所以4962，解得：32所以函数fx的最小正周期为224332T故选：C考点：三角函数的图像与性质8.25()()xxyxy的展开式中x3y3的系数为（）A.5B.10C.15D.20【答案】C【详解】5()xy展开式的通项公式为515rrrrTCxy（rN且5r）所以2yxx与5()xy展开式的乘积可表示为：56155rrrrrrrxTxCxyCxy或22542155rrrrrrrTCxyxCyyyxx在615rrrrxTCxy中，令3r，可得：33345xTCxy，该项中33xy的系数为10，在42152rrrrTCxxyy中，令1r，可得：521332TCyxxy，该项中33xy的系数为5-4-所以33xy的系数为10515故选：C考点：二项式定理9.已知 π()0,，且3cos28cos5，则sin（）A.53B.23C.13D.59【答案】A【详解】3cos28cos5，得26cos8cos80，即23cos4cos40，解得2cos3或cos2（舍去），又25(0,),sin1cos3.故选：A.考点：三角函数给值求值10.已知,,ABC为球O的球面上的三个点，⊙1O为ABC的外接圆，若⊙1O的面积为4π，1ABBCACOO，则球O的表面积为（）A.64πB.48πC.36πD.32π【答案】A【详解】设圆1O半径为r，球的半径为R，依题意，得24,2rr，由正弦定理可得2sin6023ABr，123OOAB，根据圆截面性质1OO平面ABC，222211111,4OOOAROAOOOAOOr，球O的表面积2464SR.故选：A考点：外接球11.已知⊙M：222220xyxy，直线l：220xy，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线,PAPB，切点为,AB，当||||PMAB最小时，直线AB的方程为（）-5-A.210xyB.210xyC.210xyD.210xy【答案】D【详解】圆的方程可化为22114xy，点M到直线l的距离为2221125221d，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,APBM四点共圆，且ABMP，所以12222PAMPMABSPAAMPA△，而24PAMP，当直线MPl时，min5MP，min1PA，此时PMAB最小．∴1:112MPyx即1122yx，由1122220yxxy解得，10xy．所以以MP为直径的圆的方程为1110xxyy，即2210xyy，两圆的方程相减可得：210xy，即为直线AB的方程．故选：D.考点：解析几何直线与圆12.若242log42logabab，则（）A.2abB.2abC.2abD.2ab【答案】B【详解】设2()2logxfxx，则()fx为增函数，因为22422log42log2logabbabb所以()(2)fafb2222log(2log2)abab22222log(2log2)bbbb21log102，所以()(2)fafb，所以2ab.2()()fafb22222log(2log)abab222222log(2log)bbbb22222logbbb，当1b时，2()()20fafb，此时2()()fafb，有2ab当2b时，2()()10fafb，此时2()()fafb，有2ab，所以C、D错误.故选：B.考点：指数与对数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若x，y满足约束条件220,10,10,xyxyy则z=x+7y的最大值为______________.【答案】1【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，-6-目标函数7zxy即：1177yxz，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：22010xyxy，可得点A的坐标为：()1,0A，据此可知目标函数的最大值为：max1701z.故答案为：1．考点：线性规划14.设,ab为单位向量，且||1ab，则||ab______________.【答案】3【详解】因为,ab为单位向量，所以1abrr所以2222221ababaabbab解得：21ab所以22223ababaabb故答案为：3考点：平面向量中的单位向量与模15.已知F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.【答案】2【详解】依题可得，3BFAF，而2bBFa，AFca，即23baca，变形得22233caaca，化简可得，2320ee，解得2e或1e（舍去）．故答案为：2．-7-考点：双曲线16.如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，3ABAD，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.【答案】14【详解】ABAC，3AB，1AC，由勾股定理得222BCABAC，同理得6BD，6BFBD，在ACE△中，1AC，3AEAD，30CAE，由余弦定理得22232cos301321312CEACAEACAE，1CFCE，在BCF中，2BC，6BF，1CF，由余弦定理得2221461cos22124CFBCBFFCBCFBC.故答案为：14.考点：解三角形三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设{}na是公比不为1的等比数列，1a为2a，3a的等差中项．（1）求{}na的公比；-8-（2）若11a，求数列{}nna的前n项和．【答案】（1）2；（2）1(13)(2)9nnnS.【详解】（1）设{}na的公比为q，1a为23,aa的等差中项，212312,0,20aaaaqq，1,2qq；（2）设{}nna的前n项和为nS，111,(2)nnaa，21112(2)3(2)(2)nnSn，①23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)nnnSnn，②①②得，2131(2)(2)(2)(2)nnnSn1(2)1(13)(2)(2)1(2)3nnnnn，1(13)(2)9nnnS.考点：等差中项，错位相减求和18.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PODO．（1）证明：PA平面PBC；（2）求二面角BPCE的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）255.【详解】（1）由题设，知DAE△为等边三角形，设1AE，则32DO，1122COBOAE，所以6264PODO，222266,,44PCPOOCPBPOOB-9-又ABC为等边三角形，则2sin60BAOA，所以32BA，22234PAPBAB，则90APB，所以PAPB，同理PAPC，又PCPBP，所以PA平面PBC；（2）过O作ON∥BC交AB于点N，因为PO平面ABC，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则121313(,0,0),(0,0,),(,,0),(,,0)244444EPBC，132(,,)444PC，132(,,)444PB，12(,0,)24PE，设平面PCB的一个法向量为111(,,)nxyz，由00nPCnPB，得111111320320xyzxyz，令12x，得111,0zy，所以(2,0,1)n，设平面PCE的一个法向量为222(,,)mxyz由00mPCmPE