概率论数理统计试题

概率论数理统计试题一、填空题1、设A、B、C是三个随机事件。试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C至少有一个发生CBA2）A、B、C中恰有一个发生CBACBACBA3）A、B、C不多于一个发生BACACB或CBACBACBACBA2、已知0.8,0.4,0.5PAPBPAB，则PAB0.3。3.设离散型随机变量X的分布函数为01x)(xFa11xa3221xba2x且21)2(XP，则a61b,65。4、设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为的指数分布，2)1(eXP，则2，}1),{min(YXP41e.5设总体X服从正态分布),,0(2N从总体中抽取样本,,,,4321XXXX则统计量24232221XXXX服从)2,2(F分布。6、设总体X服从正态分布),1,(N其中为未知参数，从总体X中抽取容量为16的样本，样本均值,5X则总体均值的%95的置信区间为____（4.51，5.49）____。（96.1975.0u）7、设nXXX,,,21)1(n为来自总体X的一个样本,对总体方差DX进行估计时,常用的无偏估计量是niiXXnS122)(118、已知,31,9)Y(D,16)X(DXY则.___36___)Y2X(D9、设X1,X2,…Xn为来自正态总体2(,)N的一个简单随机样本，则样本均值11niin服从2N,n10、测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差（微米）如下：+2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是2二、选择题1、设BA，则下面正确的等式是（B）．1APABPA；BPBAPBPA；CPBAPB；DPABPA．2、以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为D（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销”（C）“甲种产品滞销”；（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。3、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是B（A）1/5（B）2/5（C）3/5（D）4/54、设X的密度函数为)(xf，分布函数为)(xF，且)()(xfxf。那么对任意给定的a都有BA）0()1()afafxdxB）01()()2aFafxdxC）)()(aFaFD）1)(2)(aFaF5、已知随机变量X的密度函数f(x)=xxAe,x0,(0,A为常数)，则概率P{X+a}（a0）的值CA）与a无关，随的增大而增大B）与a无关，随的增大而减小C）与无关，随a的增大而增大D）与无关，随a的增大而减小6、若随机变量X的概率密度为)(e21)(4)3(2xxfx,则Y（A）)1,0(~N(A)23X(B)23X(C)23X(D)23X7、若随机变量YX,不相关,则下列等式中不成立的是（C）(A)0),cov(YX(B)DYDXYXD)((C)DYDXDXY(D)EYEXEXY8、若X～211(,)，Y～222(,)那么),(YX的联合分布为CA）二维正态，且0B）二维正态，且不定C）未必是二维正态D）以上都不对9、在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用B（A）t检验法（B）u检验法（C）F检验法（D）2检验法10、设X～(1,)p12,,,,,nXXX是来自X的样本，那么下列选项中不正确的是B(A)当n充分大时，近似有X～(1),ppNpn(B){}(1),kknknPXkCpp0,1,2,,kn(C）{}(1),kknknkPXCppn0,1,2,,kn(D）{}(1),1kknkinPXkCppin三、计算题1、设A、B、C是Ω中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来（1）仅A发生，B、C都不发生；（2）,,ABC中至少有两个发生；（3）,,ABC中不多于两个发生；（4）,,ABC中恰有两个发生；（5）,,ABC中至多有一个发生。解（1）ABC（2）ABACBC或ABCABCABCABC；（3）ABC或ABCABCABCABCABCABCABC；（4）ABCABCABC；（5）ABACBC或ABCABCABCABC2、口袋里有3个白球，2个黑球。现不放回地依次摸出2球，并设随机变量10X第一次摸出白球第一次摸出黑球，10Y第二次摸出白球第二次摸出黑球。试求：（1）,XY的联合分布律；（6分）（2）X和Y的边缘分布律；（2分）（3）21DX。（6分）解：（1）,XY的联合分布律：211X=0,Y=0X=0Y=0/X=0;5410PPP233X=0,Y=1X=0Y=1/X=0;5410PPP323X=1,Y=0X=1Y=0/X=1;5410PPP323X=1,Y=1X=1Y=1/X=1.5410PPPＹＸ０１jP0１／103／102／５１3／103／10３／5iP2／５３／51（2）X和Y的边缘分布律：(3)22223323301;01;555555EXEX233624(),214552525DXDXDX。3、某商店负责供应某地区1000人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间,各人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以%7.99的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.解设人购买该种商品第人不购买该种商品第iiXi,1,,0(1000,,2,1i),X表示购买该种商品的Ｘ01P2／５３／5Y01P2／５３／5人数,则)6.0,1000(~BX.又设商品预备n件该种商品,依题意,由中心极限定理可得)240600240600()()(nXPDXEXnDXEXXPnXP997.0)240600(n.查正态分布表得75.2240600n,解得6436.642n件.4、设12,,,nXXX是来自几何分布1()(1),1,2,,01kPXkppkp，的样本，试求未知参数p的极大似然估计.解1111(,,;)(1)(1)niiinxnxnniLxxppppp1lnln()ln(1),niiLnpXnp1ln0,1niiXndLndppp解似然方程11niinXnpp，得p的极大似然估计1pX。5、某出租车公司欲了解：从金沙车站到火车北站乘租车的时间。随机地抽查了9辆出租车，记录其从金沙车站到火车北站的时间，算得20x（分钟），无偏方差的标准差3s。若假设此样本来自正态总体2(,)N，其中2,均未知，试求的置信水平为0.95的置信下限。解：由于未知，故采用2222(1)~(1)nSn作枢轴量（2分）要求()1LP（2分）这等价于要求22()1LP，也即2222(1)(1)()1LnSnSP（2分）而2212(1)((1))1nSPn（2分）所以2212(1)(1)LnSn，故2221(1)(1)LnSn（1分）故的置信水平为1的置信下限为221(1)(1)LnSn由于这里9n，0.05，20.95(8)15.507所以由样本算得ˆ2.155L即的置信水平为0.95的置信下限为2.155。6、某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得2.0S，求的置信区间（1.0，68.19)11(22，57.4)11(221）解：由2222221)1(Sn得2222)1(Sn，22122)1(Sn所以的置信区间为：[)11()1(222Sn，)11()1(2212Sn]7、某包装机包装物品重量服从正态分布)4,(2N。现在随机抽取16个包装袋，算得平均包装袋重为900x，样本均方差为22S，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有变化？（05.0）（488.2715262.6)15(2025.02975.0）（，）解：统计量为：)1(~)1(222nXSn0H：22024，1H：20216n，22S，224代入统计量得875.116215262.6)15(875.12975.0所以0H不成立，即其方差有变化。8、设随机变量X的概率密度为1,02,()0,.axxfx其它求（1）常数a；（2）X的分布函数()Fx；（3）(13).PX解：（1）222001()(1)()222afxdxaxdxxxa∴12a（2）X的分布函数为00,0,()()(1),02,21,2.xxxuFxfududuxx20,0,,02,41,2.xxxxx（3）32111(13)()(1)24xPxfxdxdx.