曲线积分曲面积分总结

1第十三章曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.第一节对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积.由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样,因此,可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量,这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算.下面考虑如何计算这构件的质量.设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为xfy，bax,，其上每一点的密度为yx,．如图13-1我们可以将物体分为n段，分点为nMMM,...,,21,每一小弧段的长度分别是12,,...,nsss．取其中的一小段弧iiMM1来分析．在线密度连续变化的情况下,只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点,ii的密度,ii来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于,iiis．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即niiiisyxM1,．用表示n个小弧段的最大长度.为了计算M的精确值,取上式右端之和当0时的极限，从而得到1lim(,).niiiiMs即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分.抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：定义13.1设L是xoy面内的一条光滑曲线，函数yxf,在L上有界，用L上任意插入图13-12一点列nMMM,...,,21将曲线分为n个小段.设第i段的长度为is(1,2,,in)，又ii,为第i个小段上任意取定的一点，作乘积iiisf,，并作和iiinisf,1，若当各小段的长度的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数yxf,在曲线L上对弧长的曲线积分,也称为第一类曲线积分,记作Ldsyxf,,即01(,)lim(,)niiiLifxydsfs,其中yxf,叫做被积函数，L称为积分弧段．当L是光滑封闭曲线时，记为Ldsyxf,．类似地，对于三元函数zyxf,,在空间的曲线L上光滑，也可以定义zyxf,,在曲线L上对弧长的曲线积分Ldszyxf,,．这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为(,).LMxyds由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质：性质1（线性性）若,fg在曲线L上第一类曲线积分存在，,是常数,则(,)(,)fxygxy在曲线L上第一类曲线积分也存在，且,,,,LLLfxygxydsfxydsgxyds；性质２（对路径的可加性）设曲线L分成两段12,LL.如果函数f在L上的第一类曲线积分存在，则函数分别在1L和2L上的第一类曲线积分也存在.反之，如果函数f在1L和2L上的第一类曲线积分存在，则函数f在L上的第一类曲线积分也存在.并且下面等式成立1212LLLLfdsfdsfds．(12LL表示L)对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出．二、第一类曲线积分的计算定理13.1设有光滑曲线():,[,].()xtLtyt即'()t,'()t连续.若函数(,)fxy在L上连续，则它在L上的第一类曲线积分存在，且322,,''Lfxydsfttttdt证明如前面定义一样，对L依次插入121,,...,nMMM，并设0((),())M，((),())nM.注意到01.nttt记小弧段1iiMM的长度为is，那么122'()'(),1,2,.iititsttdtin由22'()'()tt的连续性与微分中值定理，有1221'()'(),(').iitiiiitsttdttt所以,当('')iix,('')iiy时,222iiiii11(,)((''),(''))'(')'(')t,nniiiiifxysf这里i1iiit',''t.设n2222iiiiiii1f((''),(''))['(')'(')'('')'('')]it则有nn22iiiiiiiii1i1f(x,y)sf((''),(''))'('')'('')t.令12ntmax{t,t,,t},要证明的是t0lim0.因为复合函数f((t),(t))关于t连续，所以在闭区间[,]上有界，即存在M，对一切t[,]有|f((t),(t))|M.再由22'(t)'(t)在[,]上连续，所以它在[,]上一致连续.即当任给0，必存在0，当t时有2222|'('')'('')'(')'(')|.iiii从而1||().niiMtM4所以0lim0.t再从定积分定义得n22iiiii0i1limf((''),(''))'('')'('')tt22((),())'()'().fttttdt所以当nn22iiiiiiiii1i1f(x,y)sf((''),(''))'('')'('')t两边取极限后，即得所要证的结果.特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为(),,yyxaxb则2,,1'bLafxydsfxyxyxdx．例13.1计算曲线积分Ldsy，其中L是抛物线2xy上的点0,0A与点1,1B之间的一段弧．（如图13.1-2）图13-2解：积分曲线由方程1,0,2xxy给出，所以10222'1dxxxdsyL12014xxdx10241121x=155121.5例13.2计算积分22nLxyds，其中L为圆周:sin,xatcos,yat02t.解：由于L为圆周：20,cos,sinttaytax，所以2222222220sincoscos(sin)nnLxydsatatatatdt20222nnadta．对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算．例如：若曲线L由参数方程tzztyytxx,,，t确定，则有dttztytxds222'''，从而dttztytxtztytxfdszyxfL222''',,,,．例13.３计算曲线积分dszyx222，其中是螺旋线cos,xatsin,yatzkt上相应于t从0到2的一段弧．解：由上面的结论有dtktatakttatadszyx20222222222cossinsincos2222220222224332kakadtkatka例14.4计算2Lxds,其中L为球面2222xyza被平面0xyz所截得的圆周.解：由对称性可知222,LLLxdsydszds所以22222312().333LLLaxdsxyzdsdsa习题13.11.计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I（设线密度1）.2.计算曲线积分222()xyzds，其中为螺旋线cosxat，sinyat，zkt6上相应于t从0到2的一段弧.3.计算,xCyedS其中C为曲线2ln(1),23xtyarctgtt由0t到1t间的一段弧.4.求LxydS，其中L是椭圆周22221xyab位于第一象限中的那部分。5.计算22LxydS，其中L为曲线222.xyy6.求LxdS，其中L为双曲线1xy从点1(,2)2到点(1,1)的一段弧。7.计算()Lxyds其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段.8.计算22xyLeds其中L为圆周222xya,直线yx及x轴在第一象限内所扇形的整个边界.9.计算2,xyzds其中为折线,ABCD这里A、B、C、D依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)。10.计算22()Lxyds，其中L为曲线(cossin)xattt,(sincos)yattt(02)t.11.设L为双纽线222222()()xyaxy,计算积分||LIyds.12.设L为椭圆22143xy,其周长为a,求22(234)Lxyxyds.参考答案1．3(sincos)R2.222222(34)3akak3.213ln216244.22()3()abaabbab5.004sin4sin8dd76.22217217441111[ln]21241ttdtttt7.28.224aea9.910.2322(12)a11.22(22)a12.12a第二节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质在实际中还碰到另一种类型的曲线积分问题.例如一质点在空间中沿着一条光滑曲线:,,Lxxtyytzzt运动，当at时，对应曲线上的一个端点A，当bt时，对应曲线的另一个端点B，在外力kzyxRjzyxQizyxPzyxF,,,,,,,,的作用下质点从A移动到B，现在求力F所作的功．由物理学的知识知道：若力与位移都是常量，则有sFW．现在的是一个变量，位移s也是变量．为了求这个力所作的功我们可以将曲线分为若干段，即插入n个分点BMMMAMn,...,,,210这些点对应的t分别是btttan,...,,10．在每一小段弧iiMM1上，可以认为位移就是iiMM1，在小弧段iiMM1上任意一点iii,,的力iiiF,,来近似质点在这一小弧段上移动所受到的力．于是当质点从1iM移到iM时，力F所作的功近似为iiiiiMMF1,,，将力在每一小段上所作的功相加，就得到了在力F的作用下质点从A移动到B所作的功的一个近似值．即iiniiiiMMFW11,,8注意},,,,,,,,{,,zyxRzyxQzyxPzyxF，而},,{1iiiiizyxMM，所以iiniiiiMMFW11,,iiiiiiiiiiiinizRyQxP,,,,,,1．再对上面的式子在所有小弧段的长度的最大值趋于零时取极限，若此极限存在，则它就是变力F所作的功．即iiiiiiiiiiiinizRyQxPW,,,,,,lim10．从上面的分析可以看出，这个极限和前面讲的定积分、重积分、第一类曲线积分有很多的相似之处，它们都是一个乘