《数学史》20世纪数学概观(II)(上)

第12章20世纪数学概观(Ⅱ)空前发展的应用数学12.1应用数学的新时代数学的广泛渗透与应用，是它一贯的特点，但在数学史上，数学的应用在不同时期的发展是不平衡的．18世纪是数学与力学紧密结合的时代；19世纪是纯粹数学形成的时代；20世纪则可以说既是纯粹数学的时代，又是应用数学的时代．特别是20世纪40年代以后，数学以空前的广度与深度向其他科学技术和人类知识领域渗透，加上电子计算机的推助，应用数学的蓬勃发展已形成为当代数学的一股强大潮流．应用数学的这个新时代具有以下几方面的特点．(1)数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎所有的知识领域渗透．19世纪70、80年代，还是在现代数学发展的早期，恩格斯曾经对数学应用的状况作过这样的估计：“在固体力学中是绝对的，在气体力学中是近似的，在流体力学中已经比较困难了，在物理学中多半是尝试性的和相对的，在化学中是最简单的一次方程式，在生物学中等于零”．从那以后经过一个多世纪的发展，可以看到恩格斯所描述的状况有了根本的改观．数学正在向包括从粒子物理到生命科学、从航空技术到地质勘探在内的一切科技领域进军．数学在物理学中的应用经历了一系列激动人心的重大事件；现代化学为了描述化学过程已少不了微分方程和积分方程，并且有许多还是连数学家都感到棘手的非线性方程；生物学不用数学的时代也已一去不返．除了自然科学，在经济学、社会学、历史学等社会科学部门中，数学方法的应用也在崭露头角．与以往时代不同的是，数学在向外渗透过程中越来越多地与其他领域相结合而形成一系列交叉学科，如数学物理、数理化学、生物数学、数理经济学、数学地质学、数理气象学、数理语言学、数理心理学、数学考古学，……等等，它们的数目还在增加．(2)纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用，其中最抽象的一些分支也参与了渗透．在20世纪60年代，像拓扑学这样的抽象数学离实际应用似乎还很遥远．然而正如我们在下面要讲到的，拓扑学在今天的物理学、生物学和经济学中正在扮演重要角色．在凝聚态物理中分类晶体结构的“缺陷”及液晶理论中所用到的某些齐性空间中同伦群的计算，即使对专业的代数拓扑学家也是很难的问题；数论曾经被英国数学家哈代看成是“无用”和“清白”的学问，哈代说“至今还没有人能发现有什么火药味的东西是数论或相对论造成的”，并预言“将来很多年也不会有人能够发现这类事情”。但1982年以来，哈代所钟爱的“清白”学问数论，已经在密码技术(“公开密钥”系统)、卫星信号传输、计算机科学和量子场论等许多部门发挥重要的有时是关键的作用．(3)现代数学对生产技术的应用变得越来越直接．以往数学工具直接用于生产技术的事例虽有发生，但数学与生产技术的关系基本上是间接的：常常是先应用于其他科学(如力学、天文学)，再由这些科学提供技术进步的基础．20世纪下半叶以来，数学科学与生产技术的相互作用正在加强，数学提供的工具直接影响和推动技术进步的频率正在加大，并在许多情况下产生巨大的经济效益．例如以计算流体力学为基础的数值模拟已成为飞行器设计的有效工具，类似的数值模拟方法正在被应用于许多技术部门以替代耗资巨大的试验；1980年代以来，以调和分析为基础的小波分析直接应用于通信、石油勘探与图象处理等广泛的技术领域；现代大规模生产的管理决策、产品质量控制等也密切依赖于数学中的线性规划算法与统计方法；现代医学仪器工业也离不开数学(如Cr扫描仪、核磁共振仪等研制的理论基础主要是现代积分理论)，等等，这样的例子举不胜举．(4)现代数学在向外渗透的过程中，产生了一些相对独立的应用学科。这些学科以数学方法与数学理论为基础，但不同于上面提到的交叉应用分支，其应用对象不只是限于某一门特殊的学科(如物理、化学、生物等)，而是适用于相当广泛的领域．这样的应用学科有数理统计、运筹学、控制论等等．20世纪数学空前广泛的应用，是与它的另一个特点即前面已解释过的更高的抽象化趋势共轭发展着．我们看到，一方面数学的核心领域正变得越来越抽象，一方面数学的应用也变得越来越广泛．核心数学创造的许多高度抽象的语言、结构、方法与理论，被反复地证实是其他科学技术和人类生产与社会实践中普遍适用的工具，这恰恰反映了数学抽象理论与客观现实世界之间的深刻、复杂而又奇妙的联系．数学的高度抽象性与内在统一性，不断在更高的层次上决定着这门科学应用的广泛性．12.2数学向其他科学的渗透本节以数学物理、生物数学与数理经济学为例来说明20世纪数学向其他科学的渗透．12.2.1数学物理物理学应用数学的历史较长．18世纪是数学与经典力学相结合的黄金时期．19世纪数学应用的重点转移到电学与电磁学，并且由于剑桥学派的努力而形成了数学物理分支．进入20世纪以后，随着物理科学的发展，数学相继在应用于相对论、量子力学以及基本粒子理论等方面取得了一个又一个突破，极大地丰富了数学物理的内容，同时也反过来刺激了数学自身的进步．在20世纪初狭义相对论和广义相对论的创立过程中，数学都建有奇功．1907年，德国数学家闵可夫斯基(H.Minkowski，1864-1909)提出了“闵可夫斯基空间”，即将时间与空间融合在一起的四维时空．闵可夫斯基几何为爱因斯坦狭义相对论提供了合适的数学模型．有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦又进一步研究引力场理论以建立广义相对论．1,3R1912年夏爱因斯坦已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但为了实现广义相对论的目标，还必须寻求理论的数学结构，爱因斯坦为此花费了3年的时间，最后在数学家格罗斯曼(M．Grossmann)介绍下掌握了发展相对论引力学说所必需的数学工具——以黎曼几何为基础的绝对微分学，亦即爱因斯坦后来所称的张量分析．在1915年11月25日发表的一篇论文中，爱因斯坦终于导出了广义协变的引力场方程,21TgTR就是黎曼度规张量，爱因斯坦指出：“由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成!”g根据爱因斯坦的理论，时空整体是不均匀的，只是在微小的区域内可以近似地看作均匀．在数学上，广义相对论的时空可以解释为一种黎曼空间，非均匀时空连续区可借助于现成的黎曼度量)2,1,(,2dxdxgds来描述．这样，广义相对论的数学表述第一次揭示了非欧几何的现实意义，成为历史上数学应用最伟大的例子之一．在数学史上有意义的是，与爱因斯坦建立引力场方程的同时，数学家希尔伯特也沿着另一条道路独立地得到了引力场方程．希尔伯特采取公理化方法，从两条基本公理——世界函数公理和广义协变公理出发，运用当时的一项纯数学成果——E．诺特关于连续群的不变式理论，得出了他的全部理论．希尔伯特于1915年11月20日向哥廷根科学会提交了关于物理学基础的第一份报告，其中得到了一组与爱因斯坦5天后发表的引力场方程等价的方程，因而也成为现代引力理论的奠基人．希尔伯特在他关于物理学基础的报告正式出版时说道：“我所获得的场的微分方程与爱因斯坦稍后发表的论文中指出的广义相对论的漂亮理论不谋而合”。不过这两位伟大的学者之间却没有发生关于优先权的争执，反而进行了一系列友好的通信．希尔伯特将建立广义相对论的荣誉归于爱因斯坦，并在1915年颁发第3届波约数学奖时主动推荐了爱因斯坦，“因为在他的一切成就中所体现的高度的数学精神．”“惺惺相惜”我们知道，20世纪初，普朗克、爱因斯坦、玻尔等创立了量子力学，但到1925年为止，还没有一种量子理论能以统一的结构来概括这一领域已经积累的知识，当时的量子力学可以说是本质上相互独立的、有时甚至相互矛盾的部分的混合体．1925年有了重要进展，由海森堡建立的矩阵力学和由薛定谔发展的波动力学形成了两大量子理论，而进一步将这两大理论融合为统一的体系，便成为当时科学界的当务之急．恰恰在这时，数学又起了意想不到的但却是决定性的作用．20世纪数学物理的另一项经典成果是量子力学数学基础的确立．1927年，希尔伯特和冯·诺依曼、诺德海姆(L.Nordheim)合作发表了论文《论量子力学基础》，开始了用积分方程等分析工具使量子力学统一化的努力．在随后两年中，冯·诺依曼又进一步利用他从希尔伯特关于积分方程的工作中提炼出来的抽象希尔伯特空间理论，去解决量子力学的特征值问题，并最终将希尔伯特的谱理论推广到量子力学中经常出现的无界算子情形，从而奠定了量子力学的严格的数学基础．1932年，冯·诺依曼发表了总结性著作《量子力学的数学基础》，完成了量子力学的公理化．现在越来越清楚，希尔伯特20世纪初关于积分方程的工作以及由此发展起来的无穷多个变量的理论，确实是量子力学的非常合适的数学工具．量子力学的奠基人之一海森堡后来说：“量子力学的数学方法原来就是希尔伯特积分方程理论的直接应用，这真是一件特别幸运的事情!”而希尔伯特本人则深有感触地回顾道：“无穷多个变量的理论研究，完全是出于纯粹数学的兴趣．我甚至管这理论叫‘谱分析’，当时根本没有预料到它后来会在实际的物理光谱理论中获得应用”．抽象的数学成果最终成为其他科学新理论的仿佛是定做的工具，在20世纪下半叶又演出了精彩的一幕，这就是大范围微分几何在统一场论中的应用．广义相对论的发展，逐渐促使科学家们去寻求电磁场与引力场的统一表述，这方面第一个大胆的尝试是数学家外尔(H.Weyl)在1918年提出的规范场理论，外尔自己称之为“规范不变几何”。统一场论的探索后来又扩展到基本粒子间的强相互作用和弱相互作用．1954年，物理学家杨振宁和米尔斯(R.L.Mills)提出的“杨-米尔斯理论”，揭示了规范不变性可能是所有四种(电磁、引力、强、弱)相互作用的共性，开辟了用规范场论来统一自然界这4种相互作用的新途径。数学家们很快就注意到杨—米尔斯理论所需要的数学工具早已存在，物理规范势实际上就是微分几何中纤维丛上的联络，20世纪30、40年代以来已经得到深入的研究。不仅如此，人们还发现规范场的杨—米尔斯方程是一组在数学上有重要意义的非线性偏微分方程．1975年以来，对杨-米尔斯方程的研究取得了许多重要成果，展示了统一场论的诱人前景，同时也推动了数学自身的发展．1981年以来兴起的“超弦理论”，正成为数学家与物理学家携手合作的又一个活跃领域，超弦理论也是以引力理论、量子力学和粒子相互作用的统一数学描述为目标，其中用到的数学已涉及微分拓扑、代数几何、微分几何、群论与无穷维代数、复分析与黎曼曲面的模理论等．12.2.2生物数学与物理、化学相比，生物学中应用数学相当迟缓．将数学方法引进生物学研究大约始于20世纪初，英国统计学家皮尔逊(K.Pearson，1857-1936)首先将统计学应用于遗传学与进化论，并于1902年创办了《生物统计学》(Biometrika)杂志。统计方法在生物学中的应用变得日益广泛，1926年，意大利数学家伏尔泰拉(V.Volterra)提出著名的伏尔泰拉方程：,,dycxydtdybxyaxdtdx成功地解释了生物学家观察到的地中海不同鱼种周期消长的现象(方程中表示食饵即被食小鱼数，表示捕食者即食肉大鱼数)，从此微分方程又成为建立各种生物模型的重要工具．用微分方程建立生物模型在20世纪50年代曾获得轰动性成果，这就是描述神经脉冲传导过程的数学模型霍奇金—哈斯利(Hodgkin-Huxley)方程(1952)和描述视觉系统侧抑制作用的哈特莱因—拉特里夫(Hartline-Ratliff)方程(1958)，它们都是复杂的非线性方程组，引起了数学家和生物学家的浓厚兴趣．这两项工作分别获得1963年和1967年度诺贝尔医学生理学奖．xy20世纪50年代是数学与生物学结缘的良好时期，也是在这一时期，科学家们发现了脱氧核糖核酸(即DNA)的双螺旋结构(如图，1953，美国生物化学家J.D.沃森和英国物理学家F.H.C．克里克)．双螺旋模型的发现标志着分子生物学的诞生，同时也拉开了抽象的拓扑学与生物学结合的序幕．现代实验技术使生物学家们在电子显微镜下看到DNA双螺旋链有缠绕与纽结．采用把DNA的纽结解开再把它们复制出来的办法去了解DNA的结构，这就使代数拓扑学中的纽结理论有了用