因式分解的方法与技巧

因式分解的方法和技巧学而思扈新强老师总结第1页共3页因式分解的方法与技巧因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养同学们的探索求新的学习习惯，提高同学们的数学思维能力。现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧例举如下,供同学们参考:一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。例1、因式分解32422baba解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），则32422baba=)12()44(14242222bbaababa=)3)(1()1()2(22bababa例2、因式分解611623xxx解析：根据多项式的特点,把26x拆成2242xx；把x11拆成xx38则611623xxx=)63()84()2(223xxxxx=)3)(2)(1()34)(2()2(3)2(4)2(22xxxxxxxxxxx二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。例3、因式分解444yx解析：根据多项式的特点,在444yx中添上22224,4yxyx两项，则444yx=2222224224)2()2(4)44(xyyxyxyyxx=)22)(22(2222yxyxyxyx例4、因式分解4323xx因式分解的方法和技巧学而思扈新强老师总结第2页共3页解析：根据多项式的特点，将23x拆成224xx，再添上xx4,4两项，则4323xx=4444223xxxxx=)1)(44()44()44(222xxxxxxxx=2)2)(1(xx三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。例5、因式分解24)6)(43(22xxxx解析：24)6)(43(22xxxx=24)3)(2)(4)(1(xxxx=24)12)(2(24)4)(3)(2)(1(22xxxxxxxx设22xxy，则10122yxx于是，原式=)62)(42()6)(4(241024)10(222xxxxyyyyyy=)8)(3)(2()8)(6(222xxxxxxxx例6、因式分解2)1()2)(2(xyyxxyyx解析：设nxymyx,，则2)1()2)(2(xyyxxyyx=2)1()2)(2(nmnm=1)(2)(1222222nmnmnmnmnm=22222)1()1()1)(1()1()1(yxyxxyyxnm四、展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。例7、因式分解)()(2222nmxyyxmn解析：将多项式展开再重新组合，分组分解)()(2222nmxyyxmn=2222xynxymmnymnx=))(()()()()(2222nymxmynxmynxnymynxmxxynmnyxymmnx例8、因式分解22)()(mynxnymx因式分解的方法和技巧学而思扈新强老师总结第3页共3页解析：22)()(mynxnymx=2222222222ymmnxyxnynmnxyxm=)()()()(22222222222222nmynmxynymxnxm=))((2222yxnm五、巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。例9、因式分解xyxyxxx2232234解析：将多项式以y为主元，进行整理xyxyxxx2232234=)23()2(2342xxxyxx=))(2()1)(2()2(22yxxxxxxxyxx例10、因式分解abcbccbaccaabba2222222解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以a为主元进行整理abcbccbaccaabba2222222=)()2()(222cbbccbcbacba=)()()(22cbbccbacba=))((])()[(22bcacabacbbccbaacb=))()(()]()()[(cbcababacbaacb从以上几例可以看出，因式分解题型众多，方法灵活，有较强的技巧性。若能根据多项式具体的结构特征，选用恰当的方法与技巧，不仅可以化难为易，迅速求解，而且有助于培养同学们的创新思维，有效地激发同学们的学习兴趣。