因式分解

1因式分解把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。是解决许多数学问题的有力工具。1.1基本概念2.▪定义3.▪相关结论4.2分解一般步骤5.3原则6.4分解方法7.▪提公因式法1.▪公式法2.▪十字相乘法3.▪双十字相乘法4.▪解方程法5.▪分组分解法6.▪拆项补项法7.▪配方法8.▪因式定理法1.▪换元法2.▪综合除法3.▪主元法4.▪特殊值法5.▪待定系数法6.▪二次多项式7.5应用8.▪多项式除法1.▪高次方程求根2.▪解一元二次不等式以及一元二次方程3.▪化简分式4.▪梅森合数分解5.6例题基本概念定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。2因式分解方法灵活，技巧性强。学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。相关结论基本结论：分解因式与整式乘法为相反。高级结论：在高等数学上因式分解有一些重要结论，在初等数学层面上证明很困难，但是理解很容易。1）因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。2）所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如x4+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。(这是因为，由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根，也就是说，n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式的乘积。并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘，可以得到二次的实系数因式，从而这条结论也就成立了。)3）因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨，不过能有效地解决找公因式的问题。4）因式分解是很困难的，初中所接触的只是因式分解很简单的一部分。[1]分解一般步骤1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。口诀：先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。原则1、分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。3、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。4、结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；5、结果的多项式首项一般为正。在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子；6、括号内的首项系数一般为正；7、如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。如(b+c)a要写成a(b+c)；8、考试时在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。口诀：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。3分解方法因式分解主要有十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法等方法，求根公因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。具体方法：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出负号时，多项式的各项都要变号。基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式：①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。例：注意：把变成不叫提公因式，因为括号内不得用分数公式法如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。分解公式：1、平方差公式：即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。2、完全平方公式：即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。4注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的[2]形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央。同号加、异号减，符号添在异号前。推广：(1)即三数和的平方，等于这三个数的平方和加上每两项的积的2倍。(2)即四数和的平方，等于这四个数的平方和加上每两数的积的2倍。即几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上每两数的积的2倍。(3)(4)3、立方和公式：即两数之和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。推广：三项立方和公式：即三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍变形：4、立方差公式：即两数之差，乘它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差。变形：5、完全立方公式：即两数之和(差)的立方等于这两个数的立方和(差)与每一个数的平方乘以另一个数3倍的和(和与差)。6、两根式：十字相乘法对于型的式子如果能分解为分解为数的积，且有时(即a与b和是一次项的系数)，那么；或对于型的式子如果有，，且有时，那么。这种分解因式的方法叫做十字相乘法。注：与十字相乘法对应的还有双十字相乘法具体方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。(拆两头，凑中间)特点：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数的乘积；(3)一次项系数是常数项的两因数的和。5基本步骤：(1)把二次项系数和常数项分别分解因数;(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果;(4)检验。例1：把6x2+13x+6分解因式解：∴原式=(2x+3)(3x+2)例2：把3m3-3m2-60m分解因式解：∴原式=3m(m2-m-20)=3m(m-5)(m+4)双十字相乘法对于某些二元二次六项式(x、y为未知数，其余都是常数)，用两次十字相乘法分解因式，这种分解因式的方法叫做双十字相乘法。一般步骤：(1)用十字相乘法分解二次项()，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．(3)先以一个字母的一次系数分数常数项；(4)再按另一个字母的一次系数进行检验；(5)横向相加，纵向相乘。例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12．解析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。解:x2y2x3y6∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)解方程法6通过解方程来进行因式分解的方法叫做解方程法。例：把x2-6x+8=0分解因式解：原方程解得x1=2，x2=4，就得到原式=(x-2)(x-4)分组分解法通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，这种分解因式的方法叫做分组分解法。能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。例1：因式分解ax+ay+bx+by解析：把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。解：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)或ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)例2：因式分解5ax+5bx+3ay+3by解析：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。解：5ax+5bx+3ay+3by=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)例3：因式分解x2-x-y2-y解析：利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。解：x2-x-y2-y=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)例4：因式分解a2-b2-2bc-c2解：a2-b2-2bc-c2=a2-(b+c)2=(a-b-c)(a+b+c)拆项补项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解,这种分解因式的方法叫做拆项补项法。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例:分解因式：x3-9x+8．分析：本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1：将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+97=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法2将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法3将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)解法4添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)配方法对于某些不能利用公式法的多