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专题透析2019选考模块071819目录微专题18坐标系与参数方程微专题19不等式选讲网络构建WANGLUOGOUJIAN点击▼出答案考向分析KAOXIANGFENXI选考模块共有坐标系与参数方程、不等式选讲这两个模块,二选一,共10分,虽然放在第22、23题的位置,但题目难度是中低档的.坐标系与参数方程这个模块主要以解答题的形式考查极坐标方程、参数方程与普通方程的互化,利用极坐标方程或参数方程的方法解决几何问题;不等式选讲这个模块则主要是解含绝对值的不等式、求含绝对值的函数的值域、求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围及不等式的证明,常与基本不等式、恒成立问题等结合考查.命题特点一、坐标系与参数方程(一)高考主要考查平面直角坐标系中的坐标伸缩变换、直线和圆的极坐标方程以及极坐标方程的应用.1.(2018·全国Ⅰ卷·T22改编)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为x+3y-3=0.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3.(1)求曲线C2的直角坐标方程.(2)设曲线C1和C2交于A,B两点,求以线段AB为直径的圆的直角坐标方程.解析考向分析KAOXIANGFENXI解析▶(1)曲线cosρ22θ+3sinρ22θ=3化为直角坐标方程为x2+3y2=3,即𝑥23+y2=1.(2)由𝑥2+3𝑦2=3,𝑥=3(1−y),得y2-y=0,解得𝑥=0,𝑦=1或𝑥=3,𝑦=0,即A(0,1),B(3,0),所以|AB|=(0−3)2+(1−0)2=2,线段AB的中点为M32,12,则以线段AB为直径的圆的直角坐标方程为𝑥−322+𝑦−122=1.考向分析KAOXIANGFENXI2.(2015·全国Ⅰ卷·T23改编)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为𝑥−12+y2=1,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2-4ρsinθ=3.(1)求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程;(2)直线θ=π3与曲线C1,C2分别交于第一象限内的A,B两点,求𝐴𝐵.解析考向分析KAOXIANGFENXI解析▶(1)把x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入C1的方程(x-1)2+y2=1,得(ρcosθ-1)2+(ρsinθ)2=1,化简得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ.由C2的极坐标方程ρ2-4ρsinθ=3得x2+y2-4y=3,所以曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-4y-3=0.(2)依题意可设A𝜌1,π3,B𝜌2,π3,所以ρ1=2cosπ3=1,𝜌22-4ρ2sinπ3=3,即𝜌22-23ρ2-3=0,所以ρ2=3±6.因为点B在一象限,所以ρ20,即ρ2=3+6,所以𝐴𝐵=ρ2-ρ1=3+6-1.考向分析KAOXIANGFENXI(二)参数方程主要考查参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用,特别是直线参数方程中参数的几何意义的应用.3.(2018·全国Ⅲ卷·T22改编)已知曲线C的参数方程为𝑥=3cos𝜃,𝑦=2sin𝜃(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C经过伸缩变换𝑥′=23x,𝑦′=𝑦后得到曲线C',过点(0,1)且倾斜角为α的直线l与C'交于A,B两点.(1)若α=2π3,求弦长|AB|;(2)求线段的AB的中点P的轨迹的参数方程.解析考向分析KAOXIANGFENXI解析▶(1)将𝑥=3cos𝜃,𝑦=2sin𝜃代入𝑥′=23x,𝑦′=𝑦,得C'的参数方程为𝑥′=2cos𝜃,𝑦′=2sin𝜃(θ为参数).所以曲线C'的普通方程为x2+y2=4.由已知得直线l的方程为y=-3x+1,圆心(0,0)到直线l的距离d=12,所以弦长|AB|=222−122=15.考向分析KAOXIANGFENXI(2)因为点(0,1)在圆内,所以l与圆恒相交,α∈[0,π).直线l的参数方程为𝑥=𝑡cos𝛼,𝑦=1+𝑡sin𝛼(t为参数).把l的参数方程代入x2+y2=4得t2+2tsinα-3=0.设点A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=𝑡𝐴+𝑡𝐵2,于是tA+tB=-2sinα,tP=-sinα.又点P的坐标(x,y)满足𝑥=𝑡𝑃cos𝛼,𝑦=1+𝑡𝑃sin𝛼,所以点P的轨迹的参数方程是𝑥=−12sin2𝛼,𝑦=12+12cos2𝛼(α为参数,α∈[0,π)).考向分析KAOXIANGFENXI4.(2017·全国Ⅰ卷·T22改编)在平面直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线l:𝑥=2+𝑡cos𝛼,𝑦=3+tsin𝛼(t为参数)与曲线C:𝑥=2cos𝜃,𝑦=sin𝜃(θ为参数)相交于不同的两点A,B.(1)若α=π3,求线段AB的中点M的坐标;(2)若|PA|·|PB|=|OP|2,其中P(2,3),求直线l的斜率.解析考向分析KAOXIANGFENXI解析▶(1)将曲线C的参数方程化为普通方程是𝑥24+y2=1.当α=π3时,设点M对应的参数为t0,则直线l的方程为𝑥=2+12t,𝑦=3+32t(t为参数),代入曲线C的普通方程𝑥24+y2=1,得13t2+56t+48=0.设直线l上的点A,B对应参数分别为t1,t2,则t0=𝑡1+𝑡22=-2813,代入直线l的参数方程得点M的坐标为1213,−313.考向分析KAOXIANGFENXI(2)将𝑥=2+𝑡cos𝛼,𝑦=3+tsin𝛼代入曲线C的普通方程𝑥24+y2=1,得(cos2α+4sin2α)t2+(83sinα+4cosα)t+12=0.因为|PA|·|PB|=|t1t2|=12cos2α+4sin2α,又|OP|2=7,所以12cos2α+4sin2α=7,化简得sin2α=521,所以tan2α=516,解得tanα=54或tanα=-54.由于Δ=(83sinα+4cosα)2-48(cos2α+4sin2α)0,即cosα(23sinα-cosα)0,则tanα36.综上,tanα=54,所以直线l的斜率为54.考向分析KAOXIANGFENXI(三)极坐标与参数方程的综合也是高考命题的重点之一,以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.5.(2017·全国Ⅰ卷·T11改编)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为𝑥=1+cos𝛼,𝑦=sin𝛼(α为参数),曲线C2的参数方程为𝑥=cos𝛽,𝑦=1+sin𝛽(β为参数).(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程.(2)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l1:θ=απ6απ2,将射线l1按顺时针方向旋转π6得到射线l2:θ=α-π6,且射线l1与曲线C1交于O,P两点,射线l2与曲线C2交于O,Q两点,求|OP|·|OQ|的最大值.解析考向分析KAOXIANGFENXI解析▶(1)将曲线C1的参数方程化为普通方程为(x-1)2+y2=1,所以C1的极坐标方程为ρ=2cosθ.将曲线C2的参数方程化为普通方程为x2+(y-1)2=1,所以C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(2)设点P的极坐标为(ρ1,α),即ρ1=2cosα,设点Q的极坐标为𝜌2,α−π6,即ρ2=2sin𝛼−π6,则|OP|·|OQ|=|ρ1ρ2|=2cosα·2sin𝛼−π6=4cosα32sin𝛼−12cos𝛼=23sinαcosα-2cos2α=3sin2α-cos2α-1=2sin2𝛼−π6-1.因为π6απ2,所以π62α-π65π6,当2α-π6=π2,即α=π3时,|OP|·|OQ|取最大值,最大值为1.考向分析KAOXIANGFENXI6.(2016·全国Ⅱ卷·T23改编)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2,M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足𝑂𝑀·𝑂𝑃=4.(1)求点P的轨迹C2的直角坐标方程.(2)直线l的参数方程是𝑥=𝑡cos𝛼,𝑦=𝑡sin𝛼(t为参数),其中0≤απ,l与C2交于点A,𝑂𝐴=3,求直线l的斜率.解析考向分析KAOXIANGFENXI解析▶(1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ10),由题意可知𝑂𝑃=ρ,𝑂𝑀=ρ1=2sin𝜃.由𝑂𝑃·𝑂𝑀=4得曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ𝜌0,∴点P的轨迹C2的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1(y≠0).考向分析KAOXIANGFENXI(2)(法一)由直线的参数方程可知,直线l过原点且倾斜角为α,则直线l的极坐标方程为θ=α,联立𝜃=𝛼,𝜌=2sin𝜃(𝜌0),∴点A的极坐标为(2sinα,α).∴𝑂𝐴=2sinα=3,得sinα=32,解得α=π3或α=2π3,∴tanα=3或tanα=-3,∴直线l的斜率为3或-3.(法二)由题意𝑂𝐴=3≠2分析可知直线l的斜率一定存在,且由直线l的参数方程可得,直线l过原点.设直线l的普通方程为y=kx,∴点(0,1)到l的距离d=11+𝑘2=1−322,可得k=±3,∴直线l的斜率为3或-3.考向分析KAOXIANGFENXI二、不等式选讲(一)不等式选讲主要有考查解绝对值不等式,求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围,难度不大,主要考查基本运算能力、推理论证能力以及数形结合思想、分类讨论思想.1.(2018·全国Ⅱ卷·T23改编)设函数f(x)=|x+1|+|x-a|.(1)当a=2时,求不等式f(x)5的解集;(2)对任意实数x,都有f(x)≥3成立,求实数a的取值范围.解析考向分析KAOXIANGFENXI解析▶(1)∵f(x)=|x+1|+|x-a|,∴当a=2时,f(x)=|x+1|+|x-2|=−2𝑥+1,𝑥−1,3,−1≤𝑥≤2,2𝑥−1,𝑥2.又f(x)5,∴𝑥−1,−2𝑥+15或−1≤𝑥≤2,35或𝑥2,2𝑥−15,∴𝑥−1,𝑥−2或x∈⌀或𝑥2,𝑥3,∴x-2或x3,∴f(x)5的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).(2)∵f(x)=|x+1|+|x-a|≥|a+1|,当且仅当(x+1)(x-a)≤0时,等号成立,∴f(x)min=|a+1|.又对任意实数x,都有f(x)≥3成立,∴f(x)min≥3,∴|a+1|≥3,∴a+1≥3或a+1≤-3,∴a≥2或a≤-4.故实数a的取值范围为(-∞,-4]∪[2,+∞).考向分析KAOXIANGFENXI2.(2018·全国Ⅲ卷·T23改编)已知函数f𝑥=2𝑥−1+x−2.(1)在给出的平面直角坐标系中作出函数f𝑥的图象,并写出不等式f(x)≥3的解集;(不要求写出解题过程)(2)若不等式f𝑥≥1𝑚+1𝑛(m,n0)对任意的x∈R恒成立,求m+n的最小值.考向分析KAOXIANGFENXI解析▶(1)函数f(x)的图象如图所示.从图中可知,不等式f𝑥≥3的解集为(-∞,0]∪[2,+∞).(2)由(1)知,f(x)min=32,所以f(x)≥1𝑚+1𝑛恒成立,即f(x)min≥1𝑚+1𝑛,所以1𝑚+1𝑛≤32,所以𝑚+𝑛𝑚𝑛≤32.因为m,n0,所以m+n≤32mn≤32𝑚+𝑛22,当且仅当m=n时取等号.所以m+n≥83,当且仅当m=n=43时,等号成立,故m+n的最小值为83.考向分析KAOXIANGFENXI(二)不等式选讲还有考查不等式证明,主要通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法.常与基本不等式、恒成立问题结合考查.3.(2017·全国Ⅰ卷·T5改编)设a