二次函数讲义

1二次函数学案二次函数（一）【知识点1】二次函数的概念：形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数）的函数是二次函数。练习：1、下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？（1）y=2-3x2；（2）y=x(x-4)；（3）y=12x2-3x-1；（4）y=4x（1-x）+4x2；2、已知圆的面积是Scm2，圆的半径是Rcm，则圆的面积S与半径R之间的函数关系式：3、已知一个矩形的周长是60m，一边长是xm，写出这个矩形的面积S（m2）与这个矩形的一边长x之间的函数关系式。5、若22()mmymmx是二次函数，求m的值。【知识点2】y=ax2的图像和性质：用描点法画建立坐标系画出下列二次函数的图象然后研究其性质：x0y=x20y=12x20y=2x20若b=c=0，则y=ax2若b=0，则y=ax2+c若b=c=0，则y=ax2。若c=0，则y=ax2+bx；26、已知点A（3，a）在抛物线y=x2上，（1）求a的值。（2）点B（3，-a）在抛物线y=x2上吗？7、已知函数的图象是开口向下的抛物线，求m的值。函数开口方向顶点坐标（最值）对称轴增减性和坐标轴的交点0a0a0a0a2axy_y_x_1_2_3_4_-1_-2_-3_-4_-5_1_2_3_4_5_-1_-2_-3_-4_-5_O_x3二次函数（二）【知识点】y=ax2+c的图像和性质：用描点法画下列二次函数的图象然后研究其性质：【讨论】y=ax2+c的图像和x轴的交点情况：1、抛物线232xy的图象可由抛物线23xy的图象向平移个单位得到，对称轴是；它的顶点坐标是，当x=时，函数有最值为2、若抛物线y=ax2+c的顶点在y轴上，且过点（1，3）和（－2，6），求此抛物线的解析式。x-3-2-10123y=x29410149y=x2+1y=x2-1函数开口方向顶点坐标（最值）对称轴增减性和坐标轴的交点0a0a0a0a2axy2yaxcyx1234-1-2-3-4-512345-1-2-3-4-5Ox44、函数121xy与221xy在同一直角坐标系中的图象大致为（）yyyyOxOxOxxABCD6、已知二次函数y＝（m2－1）1m2m2x－－+m－2，则m＝。7.．下列判断中正确的是()．①a、b、c均为实常数的函数y＝ax2＋bx＋c是二次函数②二次函数y＝ax2＋bx＋c中，三个实常数a、b、c之积不为0③二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a、b、c三个实常数中必须a≠0④函数y＝ax2＋bx＋c中，若a＝0，则此函数必为一次函数A．①、②、③、④B．②、③C．③、④D．③8.若点P(1,a)和Q(-1,b)都在抛物线y=—X2+1上，则线段PQ的长是9.（2009年北京市中考）23.已知关于x的一元二次方程22410xxk有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；5二次函数（三）【知识点】2()yaxh的图像和性质：用描点法画下列二次函数的图象然后研究其性质：函数开口方向顶点坐标对称轴增减性和坐标轴的交点0a0a0a0a2axy向上向下2yaxc向上向下2)(hxay向上向下1、抛物线2)2(31xy的图象可由抛物线231xy向平移个单位得到，它的顶点坐标是，对称轴是；当x=时，函数有最值，是。图像和,xy轴的交点坐标为。2、把y=3x2-5的图象向上平移5个单位，再向左平移3个单位得到的函数为_________.3、已知抛物线1l和x轴有且只有一个交点（－3，0），并且1l过点（－1，8），求1l的解析式。x-2-1012y=（x+1）2y=（x-1）2yx1234-1-2-3-4-512345-1-2-3-4-5Ox6二次函数（四）【知识点】2()yaxhk的图像和性质：用描点法画下列二次函数的图象然后研究其性质：1、把23xy的图象向上平移2个单位得抛物线，再向左平移3个单位得抛物线。2、把22xy的图象向平移个单位得抛物线242xy，再向平移单位得抛物线22(4)5yx。3、抛物线21(1)52yx的开口____，对称轴是，顶点坐标是，和x轴的交点坐标是，和y轴的交点坐标是，当x＝时，y有最值＝；当x时，y随x的增大而减小。x-2-10122yx2(1)yx2(1)1yx函数开口方向顶点坐标对称轴增减性和坐标轴的交点0a0a0a0a2axy向上向下2yaxc向上向下2)(hxay向上向下2()yaxhk顶点式向上向下yx1234-1-2-3-4-51-1-2-3-4-5Ox7形如2()yaxhk的二次函数解析式称作二次函数的顶点式顶点为对称轴为最值为例：二次函数422)1(xy的图象的开口方向________顶点坐标是________对称轴是_________,当X______时,Y随着X的增大而增大,当X______时,Y随着X的增大而减少，当X=_____时函数有最_____值，最_______值是_________1．抛物线21(3)4yx的开口方向,对称轴是，顶点坐标为，在对称轴左侧，即x时，y随x增大而；在对称轴右侧，即x时，y随x增大而，当x=时，y有最值为.2．抛物线23(2)yx的开口方向，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴左侧，即x时，y随x增大而，在对称轴右侧,即x时y随x增大而，当x=时，y有最值为.3．将抛物线213yx沿x轴向平行移动个单位，可得到抛物线21(5)3yx；沿x轴向平行移动个单位，可得到抛物线21(5)3yx.4.抛物线y=21(x+3)2的顶点坐标是______.5．顶点为(－6，0)，开口向下，形状与函数212yx的图象相同的抛物线所对应的函数是（）A.y=21(x－6)2B.y=21(x+6)2C.y=－21(x－6)2D.y=－21(x+6)26．要得到抛物线2)4(31xy，可将抛物线231xy()A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位C．向右平移4个单位D．向左平移4个单位7.抛物线y=m(x－5)2经过点（0，3），则抛物线解析式为.8.已知抛物线的顶点坐标是(-1,-2)，且经过点（0，1），求这个二次函数的关系式。83、用配方法把下列函数写成y=a(x-h)2+k的形式，画出草图并说明其开口方向、对称轴、顶点坐标及和坐标轴的交点坐标：（1）243yxx21(2)232yxx4、根据配方的原则，将yaxbxc2化为yaxhk()2的形式，并说明其开口方向、对称轴、顶点坐标及和坐标轴的交点坐标：练习：写出下列二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及和坐标轴的交点坐标：（1）852xxy(2)xxy232(3)2243yxx二次函数（六）【知识点】二次函数y=ax2+bx+c（a0）的系数a,b,c的符号和图像的关系：1、a的符号决定开口方向（），a大小决定开口大小（）;2、抛物线与y轴交点坐标为（，），所以c的符号决定抛物线与y轴交点的位置（①0c时，②0c时，③0c时，）;3、抛物线的对称轴为，所以a,b的符号决定对称轴的位置（a,b同号时，，a,b异号时，）4、当1x时，y，当1x时，y当2x时，y，当2x时，y95、如果a0,b0,c0,那么二次函数y=x2+bx+c的图象为（）6、已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.0ab，0cB.0ab，0cC.0ab，0cD.0ab，0c7、已知一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），它们在同一坐标系中的大致图象是（）8.一个二次函数的图象与抛物线23xy的形状相同,且顶点为(1,4),那么这个函数的关系式是_________________________.9.顶点在原点且以y轴为对称轴的抛物线过点（2，-4），求此抛物线的解析式；10.已知二次函数的图像的顶点坐标为（1，-6），且经过点（2，-8）,求这个二次函数的关系式.xOyA、xOyB、xOyC、xOyD、oxy6题图1011.二次函数图象与x轴有两个交点A（-3，0）、B（1，0），顶点到x轴的距离是4，求此二次函数的解析式.第五讲：二次函数（四）二次函数（七）【知识点】用待定系数法求二次函数的解析式1二次函数的交点式若抛物线与x轴有一个或两个交点（x1，0），（x2，0）则抛物线可以写为：y=a（x-x1）（x-x2），我们把这种形式叫做二次函数的交点式或双根式求下列格式与x轴y轴交点的坐标(1)212yxx(2)26yxx(3)21024yxx(4)2820yxx(5)22350yy(1)2710yxx小结我们学过的三种解析式的形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)（2）顶点式：)0()(2akhxay(3)双根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，112、求二次函数解析式(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)（2）顶点式：)0()(2akhxay(3)双根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，例1：已知二次函数的图象经过点（1，－1），（－2，5），（0，－5），求二次函数解析式。例2：已知二次函数的图象的顶点坐标是（-1，2），且过点（2，-3），求二次函数解析式。例3：已知二次函数的图象经过点（-4，0）（6，0），（2，2），求二次函数解析式。例4：二次函数的图象过4，3点，且x3时，二次函数有最大值1，求此函数的解析式。12例5：已知抛物线与x轴交点的横坐标为－2，4，且min92y，求二次函数解析式。例6：已知二次函数22(1)2(1)yxmxm的图像的顶点在直线4y上，求二次函数解析式。例7：抛物线图象经过0，1和3，2两点，顶点在直线y3x3上，开口向下，求该图象的函数解析式。例8：已知二次函数yax2bxc，当1x时，min4y，且图像在x轴上截得的线段长为4，求二次函数解析式。13例9：二次函数2yaxbxc的部分对应值如下表：（1）二次函数图象所对应的顶点坐标为.（2）当4x时,y.（3）二次函数的解析式为.例10：已知抛物线经过直线332yx与两坐标轴的交点，且过1，1，求抛物线的函数解析式。例11：抛物线yax2bxc与x轴交于A3，0，对称轴为x1，顶点到x轴的距离为2，求该图象的函数解析式。例12：已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x轴仅有一个交点，求二次函数的解析式。x…－2－10123…y…50－3－4－30…14例13：已知：二次函数22mmxxy（1）求证：不论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点（2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，确定m的值，并写出二次函数的解析式例14：二次函数cbxaxy2的图像与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点．⑴根据图像确定a、b、c的符号，并说明理由；⑵如果点A的坐标为（0，－3），∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，求这个二次函数的解析式．例15：、如图，直角梯形OABC中，O为坐标原点，OCOA，点C的坐标是(08)，，以点B为顶点的抛物线2yaxbxc经过原点和x轴上的点A．求抛物线的解析式。15例16：小明在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y=－14x2+2x，其中y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m.⑴抛物线的顶点坐标；⑵求出球飞行的最大水平距离；⑶若小明第二次仍从此处击球，使其最大高度不变，而球刚好进洞，则球