高考物理新一轮复习-求极值的六种方法微讲座课件(1)

“微讲座”(四)——求极值的六种方法第四章曲线运动万有引力与航天从近几年高考物理试题来看,考查极值问题的频率越来越高，由于这类试题既能考查考生对知识的理解能力、推理能力，又能考查应用数学知识解决问题的能力，因此必将受到高考命题者的青睐．下面介绍极值问题的六种求解方法．一、临界条件法假设未知数，对物理情景和物理过程进行分析，利用临界条件和关系建立方程组．如图所示，在光滑的圆锥体顶端用长为l的细线悬挂一质量为m的小球．圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°.求小球沿圆锥体表面在水平面内做圆周运动的最大速度．[思路点拨]小球不离开圆锥表面的临界条件为受到的支持力等于零．[解析]如图所示，小球在锥面上运动，当支持力FN＝0时，小球只受重力mg和线的拉力FT的作用，其合力F应沿水平面指向轴线，由几何关系知F＝mgtan30°①又F＝mv2mr＝mv2mlsin30°②由①②两式解得vm＝3gl6.[答案]3gl6二、二次函数极值法对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，当a＞0时，y有最小值ymin＝4ac－b24a，当a＜0时，y有最大值ymax＝4ac－b24a.也可以采取配方法求解．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车．试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？[解析]设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则自行车的位移：x自＝v自t汽车的位移：x汽＝12at2则t时刻两车的距离Δx＝v自t－12at2代入数据得：Δx＝－32t2＋6t当t＝－62×－32s＝2s时，Δx有最大值Δxm＝0－624×－32m＝6m.对Δx＝－32t2＋6t也可以用配方法求解：Δx＝6－32(t－2)2显然，当t＝2s时，Δx最大为6m.[此题也可用临界法求解．][答案]见解析三、三角函数法某些物理量之间存在着三角函数关系，可根据三角函数知识求解极值．质量为m的物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，求维持物体做匀速运动的最小拉力．[解析]物体受力如图．由平衡条件得：F·cosθ＝Ff①F·sinθ＋FN＝mg②又Ff＝μFN③联立①②③得：F＝μmgcosθ＋μsinθ令sinα＝11＋μ2，cosα＝μ1＋μ2则F＝μmg1＋μ2sinα＋θ当sin(α＋θ)＝1时，Fmin＝μmg1＋μ2.[答案]μmg1＋μ2四、图解法此种方法一般适用于求矢量极值问题，如动态平衡问题，运动的合成问题，都是应用点到直线的距离最短求最小值．(原创题)用图解法求例3中的最小拉力．[解析]由FfFN＝μ知，不论Ff、FN为何值，其比值恒定由图知FfFN＝μ＝tanα，即F′的方向是确定的．由平衡条件推论可知：mg、F′、F构成闭合三角形．显然，当F⊥F′时，F最小．Fmin＝mgsinα＝mgtanα1＋tan2α＝μmg1＋μ2.[答案]μmg1＋μ2五、均值不等式法任意两个正整数a、b，若a＋b＝恒量，当a＝b时，其乘积a·b最大；若a·b＝恒量，当a＝b时，其和(a＋b)最小．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为34d，重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力．(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2.(2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？[解析](1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有竖直方向14d＝12gt2，水平方向d＝v1t解得v1＝2gd由机械能守恒定律有12mv22＝12mv21＋mgd－34d得v2＝52gd.(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小球做圆周运动的半径为R＝34d由圆周运动向心力公式，有FT－mg＝mv21R得FT＝113mg.(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，有FT－mg＝mv23l得v3＝83gl绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l，水平位移为x，时间为t1有d－l＝12gt21，x＝v3t1得x＝4ld－l3当l＝d2时，x有极大值xmax＝233d.[答案]见解析六、判别式法一元二次方程的判别式Δ＝b2－4ac≥0时有实数根，取等号时为极值，在列出的方程数少于未知量个数时，求解极值问题常用这种方法．(原创题)如图所示，顶角为2θ的光滑绝缘圆锥，置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，现有质量为m，带电量为－q的小球,沿圆锥面在水平面内做圆周运动，求小球做圆周运动的最小半径．[解析]小球受力如图，设小球做圆周运动的速率为v，轨道半径为R.由牛顿第二定律得：水平方向：qvB－FNcosθ＝mv2R竖直方向：FNsinθ－mg＝0两式联立得：mv2R－qvB＋mgcotθ＝0因为速率v为实数，故Δ≥0即(qB)2－4mRmgcotθ≥0解得：R≥4m2gcotθq2B2故最小半径为：Rmin＝4m2gcotθq2B2.[答案]4m2gcotθq2B21．(单选)如图所示，河宽200m，一条小船要将货物从A点运送到河对岸的B点，已知AB连线与河岸的夹角θ＝30°，河水的流速v水＝5m/s，小船在静水中的速度至少是()A．2m/sB．2.5m/sC．3m/sD．5m/sB[解析]根据小船过河特点可知，AB即为合速度方向，则船在静水中的速度最小时，必与AB垂直，由几何关系可知:vmin＝v水sin30°＝2.5m/s，故B选项正确．2．(单选)如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处放置一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为()A．α＝θB．α＝θ2C．α＝θ3D．α＝2θB[解析]如图所示，在竖直线AC上选取一点O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A点，且与斜面相切于D点．由等时圆知识可知，由A沿斜面滑到D所用时间比由A到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D点重合即可，而∠COD＝θ，则α＝θ2.3．甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L1＝11m处，乙车速度v乙＝60m/s,甲车速度v甲＝50m/s，此时乙车离终点线尚有L2＝600m，如图所示．若甲车加速运动，加速度a＝2m/s2，乙车速度不变，不计车长．求：(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？(2)到达终点时甲车能否超过乙车？[解析](1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，即v甲＋at1＝v乙，得t1＝v乙－v甲a＝60－502s＝5s甲车位移x甲＝v甲t1＋12at21＝275m乙车位移x乙＝v乙t1＝60×5m＝300m此时两车间距离Δx＝x乙＋L1－x甲＝36m.(3)甲车追上乙车时，位移关系x′甲＝x′乙＋L1甲车位移x′甲＝v甲t2＋12at22，乙车位移x′乙＝v乙t2，将x′甲、x′乙代入位移关系，得v甲t2＋12at22＝v乙t2＋L1，代入数值并整理得t22－10t2－11＝0，解得t2＝－1s(舍去)或t2＝11s，此时乙车位移x′乙＝v乙t2＝660m＞L2故到达终点时甲车不能超过乙车．[答案]见解析4．(原创题)如图，有几个底边长度均为L、倾角不同的光滑斜面，将一物体从斜面顶端由静止释放滑到底端，当倾角α为多少时用时最短？最短时间为多少？[解析]斜面长度为s＝Lcosα.物体的加速度为a＝gsinα.由s＝12at2得：t＝2Lgsinαcosα＝4Lgsin2α当α＝45°时，t最小，tmin＝2Lg.[答案]45°2Lg5.(原创题)一人在距公路垂直距离为h的B点(垂足为A)，公路上有一辆以速度v1匀速行驶的汽车向A点行驶，当汽车距A点距离为L时，人立即匀速跑向公路拦截汽车，求人能拦截住汽车的最小速度．[解析]法一：设人以速度v2沿图示方向恰好在C点拦住汽车，用时为t.则L＋htanα＝v1t①hcosα＝v2t②整理得：v2＝hv1Lcosα＋hsinα＝hv1L2＋h2LL2＋h2cosα＋hL2＋h2sinα由数学知识知：v2min＝hv1L2＋h2.法二：选取汽车为参照物．人正对汽车运动即可拦住汽车，即人的合速度方向指向汽车．其中一分速度大小为v1，另一分速度为v2，当v2与合速度v垂直时，v2最小，由相似三角形知识可得：v2v1＝hL2＋h2v2＝hL2＋h2·v1.[答案]hv1L2＋h26．(2012·高考大纲全国卷)一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状．此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面．如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy.已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y＝12hx2；探险队员的质量为m.人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.(1)求此人落到坡面时的动能；(2)此人水平跳出的速度为多大时,他落在坡面时的动能最小?动能的最小值为多少？[解析](1)设该队员在空中运动的时间为t，在坡面上落点的横坐标为x，纵坐标为y.由运动学公式和已知条件得x＝v0t①2h－y＝12gt2②根据题意有y＝x22h③由机械能守恒知落到坡面时的动能为12mv2＝12mv20＋mg(2h－y)④联立①②③④式得12mv2＝12mv20＋4g2h2v20＋gh⑤(2)⑤式可以改写为v2＝v20＋gh＋4g2h2v20＋gh－gh显然v20＋gh与4g2h2v20＋gh之积为一恒量当v20＋gh＝4g2h2v20＋gh，即v0＝gh时，其和最小．将v0＝gh代入⑤得：12mv2min＝32mgh.[答案](1)12mv20＋4g2h2v20＋gh(2)gh32mgh7．(原创题)如图所示，电动势为E、内阻为r的电源给一可变电阻供电，已知可变电阻变化范围为0～Rm，且Rmr.当R为何值时功率最大，最大功率为多少？[解析]设可变电阻为R，则I＝ER＋rP＝I2R＝E2R＋r2·R①配方法：P＝E2R－r2R＋4r显然，当R＝r时，功率最大，Pmax＝E24r判别式法：将①式整理成关于R的二次方程PR2＋(2Pr－E2)R＋Pr2＝0由于R为实数，故Δ≥0即(2Pr－E2)2－4P2r2≥0解得：P≤E24r最大值为Pmax＝E24r，代入①式得R＝r.[答案]见解析