(新教材)【人教B版】20版必修一2.2.4.2(数学)

第2课时均值不等式的应用类型一“常数代换法”求最值【典例】若点A(1，1)在直线mx+ny-1=0(mn0)上，则的最小值为________.世纪金榜导学号11mn＋【思维·引】由已知条件得到m，n的关系，构造均值不等式求最值.【解析】因为A(1，1)在直线mx+ny-1=0(mn0)上，所以m+n=1，而≥2+2=4，当且仅当m=n=时取“=”，所以的最小值为4.答案：41211mn＋11mnmnnm2mnmnmn＋＋＋＝＋＝＋＋【内化·悟】“常数代换法”适合什么样的问题求解？提示：有条件的求最值问题.【类题·通】常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式.(4)利用均值不等式求最值.【习练·破】已知x，y均为正数，且=1，求x+y的最小值.19xy【解析】x+y=(x+y)=10+≥10+2=16，当且仅当=且=1，即x=4，y=12时取等号，所以x+y的最小值为16.19()xyy9xxyy9xxyy9xxy19xy【加练·固】若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是()A.B.C.5D.6245285【解析】选C.由x+3y=5xy，可得=1，所以3x+4y=(3x+4y)·=≥=5，当且仅当x=1，y=时取等号，故3x+4y的最小值是5.135y5x＋13()5y5x＋12943x12y555y5x＋＋＋133x12y1312255y5x55＋＝＋类型二利用均值不等式证明不等式【典例】已知a，b，c均大于0，且a+b+c=1，世纪金榜导学号求证：≥9.111abc【思维·引】将“1”换为a+b+c，转化成积为常数的特点，利用均值不等式证明.【证明】因为a，b，c均大于0且a+b+c=1，所以≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=时，等号成立.13111abcabcabcabcbacacb3()()()abcabacbc【内化·悟】结合均值不等式判断：和的大小关系.提示：≤.ab222ab222ab2ab2【类题·通】利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.(2)注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用.【习练·破】已知a，b，c都是正数，求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.【证明】因为a，b，c都是正数，所以a+b≥20，b+c≥20，c+a≥20，所以(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2=8abc，即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc，当且仅当a=b=c时等号成立.abbcacabbcac【加练·固】已知a，b，c为正数，求证：≥3.bcacababcabc＋－＋－＋－＋＋【证明】左边==.因为a，b，c为正数，所以≥2(当且仅当a=b时取“=”)；≥2(当且仅当a=c时取“=”)；≥2(当且仅当b=c时取“=”).bccaab111aabbcc＋－＋＋－＋＋－bacacb()()()3abacbc＋＋－baab＋caac＋cbbc＋从而≥6(当且仅当a=b=c时取等号).所以-3≥3，即≥3.bacacb()()()abacbc＋＋＋＋＋bacacb()()()abacbc＋＋＋＋＋bcacababcabc＋－＋－＋－＋＋类型三均值不等式的实际应用【典例】玩具所需成本费用为P元，且P与生产套数x的关系为P=1000+5x+x2，而每套售出的价格为Q元，其中Q(x)=a+(a，b∈R)，世纪金榜导学号(1)问：该玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本费用最少？110xb(2)若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a，b的值.(利润=销售收入-成本)【思维·引】列出每套玩具的成本费用以及利润x·Q(x)-P的式子，可进行求解.Px【解析】(1)每套玩具所需成本费用为+5=25，当，即x=100时等号成立，故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少.2110005xxP10xx＋＋＝11000x5210010x＝＋＋11000x10x＝(2)利润为x·Q(x)-P==x2+(a-5)x-1000，2xxx(a)(10005x)b10＋－＋＋11()b10－由题意得解得a=25，b=30.5a150112()b10150a30b110b10－＝，＋＝，－，【内化·悟】均值不等式的实际问题中的应用的关键是什么？提示：结合实际问题建立对应的函数关系，把实际问题中的最值问题抽象成函数的最大、最小值问题.【类题·通】应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数.(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.(3)在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.【习练·破】近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式.假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)=(x≥0，k为常数).记y(单位：万元)为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和.k50x250(1)试解释C(0)的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简.(2)当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？【解析】(1)C(0)表示不安装净水设备时每年缴纳的水费为4万元.因为C(0)==4，所以k=1000.所以y=0.2x+×4=0.2x+，x≥0﹒k250100050x25080x5(2)y=0.2-1≥0.2×40-1=7.当x+5=，即x=15时，ymin=7，所以当x为15平方米时，y取得最小值，最小值为7万元.400(x5)x5400x5